Линза в поршне

Чёткое изображение возникает при двух положениях линзы, расстояния которых от лампы в сумме дают расстояние до экрана, значит, объёмы частей сосуда должны поменяться местами.

\(t = \dfrac{P_0V_0}{UI}\left(\dfrac{3}{2}(k - 1) + \dfrac{k\ln k}{k + 1}\right) \approx 299\) с \(\approx 5\) мин.

Оптическая часть. Пусть \(f\) — фокусное расстояние линзы, \(x\) — расстояние от лампы до линзы, \(l\) — расстояние от лампы до экрана, тогда формула тонкой линзы имеет вид \[\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{l - x} = \dfrac{1}{f},\] откуда после упрощения получаем уравнение \[x^2 - lx + fl = 0.\] Поскольку есть два положения линзы, при которых наблюдается чёткое изображение нити накала, то это квадратное относительно \(x\) уравнение имеет положительный дискриминант и соответствующие этим положениям корни \(x_1\) и \(x_2\). Согласно теореме Виета справедливо равенство \(x_1 + x_2 = l\), которое означает, что изображение нити накала снова станет чётким, когда расстояние от лампы до линзы будет равно начальному расстоянию от линзы до экрана.

Термодинамическая часть. Пусть \(V_1\) и \(V_2\) — начальные объёмы левой и правой частей сосуда соответственно, тогда согласно полученному выше результату в искомый момент времени объёмы этих частей поменяются между собой, то есть будут \(V_2\) и \(V_1\) соответственно.

Пусть \(\nu_1\) и \(\nu_2\) — количества одноатомного и двухатомного газов соответственно, \(\nu_0 = \nu_1 + \nu_2\) — общее количество газов, тогда из условий равенства давлений и температур в начальном состоянии с помощью уравнений Менделеева–Клапейрона запишем соотношения \[\dfrac{V_1}{V_0} = \dfrac{\nu_1}{\nu_0}, \qquad \dfrac{V_2}{V_0} = \dfrac{\nu_2}{\nu_0}, \qquad \dfrac{V_2}{V_1} = \dfrac{\nu_2}{\nu_1} = k. \tag{1}\] Из последнего равенства и условия постоянства температуры в правой части сосуда находим давление в сосуде в искомый момент времени: \(P = P_0\cdot\nu_2/\nu_1\).

Количество теплоты \(Q\), которое нужно подвести к газу в левой части сосуда, чтобы он расширился от объёма \(V_1\) до объёма \(V_2\), найдём из первого начала термодинамики: \[Q = \Delta U + A = \dfrac{3}{2}(PV_2 - P_0V_1) + P_0V_2\ln\left(\dfrac{V_2}{V_1}\right),\] где \(\Delta U\) — изменение внутренней энергии одноатомного газа, а работа газа в левой части сосуда была рассчитана как работа внешних сил по изотермическому сжатию газа в правой части сосуда. После упрощения получаем выражение \[Q = \dfrac{3}{2}P_0V_0\left(\dfrac{\nu_2^2}{\nu_1\nu_0} - \dfrac{\nu_1}{\nu_0}\right) + P_0V_0\dfrac{\nu_2}{\nu_0}\ln\left(\dfrac{\nu_2}{\nu_1}\right) = P_0V_0\left(\dfrac{3}{2}(k - 1) + \dfrac{k\ln k}{k + 1}\right).\] Электрическая часть. Используя формулу \(N = UI\) для мощности лампы, находим искомое время передачи количества теплоты \(Q\) газу в левой части сосуда: \[t = \dfrac{Q}{N} = \dfrac{P_0V_0}{UI}\left(\dfrac{3}{2}(k - 1) + \dfrac{k\ln k}{k + 1}\right) \approx 299\text{ с} \approx 5\text{ мин}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.