Невесомая бусинка

Бусинка невесома, поэтому результирующая сила на неё всегда равна нулю; разберите отдельно случаи, когда нити натянуты и когда они свободны, и свяжите ускорения грузов с ускорением бусинки через неизменность длин нитей.

При \(\alpha = \beta\): \(\varphi = \gamma\),  \(a_x = g\cdot\dfrac{k\cos\varphi - \cos\alpha}{k\cos^2\varphi + \cos^2\alpha}\),  \(a_y = 0\), где \(k = \dfrac{(m_1 + m_2)m_3m_4}{(m_3 + m_4)m_1m_2}\). При \(\alpha \neq \beta\): \(\varphi = \operatorname{arctg}\left(\dfrac{\operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\gamma}{\operatorname{tg}\beta}\right)\),  \(a_x = 2g\cdot\dfrac{\sin\alpha - \sin\beta + \sin\gamma - \sin\varphi}{\sin(\alpha + \varphi) - \sin(\beta + \gamma) + \sin(\alpha - \gamma) - \sin(\beta - \varphi)}\),  \(a_y = 2g\cdot\dfrac{\cos\alpha + \cos\beta + \cos\gamma + \cos\varphi}{\sin(\alpha + \varphi) - \sin(\beta + \gamma) + \sin(\alpha - \gamma) - \sin(\beta - \varphi)}\).

Поскольку бусинка невесома, а её ускорение не может быть бесконечным, то согласно второму закону Ньютона результирующая сила \(F\), действующая на бусинку, всегда равна нулю, однако это равенство реализуется по-разному в случаях \(\alpha = \beta\) и \(\alpha \neq \beta\).

Случай \(\alpha = \beta\). Равенство \(\alpha = \beta\) означает, что в треугольнике \(ABK\) биссектриса угла \(K\) является высотой, а значит, и медианой, поэтому точка \(K\) равноудалена от прямых \(AD\) и \(BC\), откуда следует равенство \(\varphi = \gamma\). В силу симметрии нитей относительно прямой, проходящей через бусинку параллельно оси \(x\), справедливо соотношение \(a_y = 0\). Теперь осталось найти только \(a_x\).

Из условия \(F = 0\) в проекции на ось \(x\) получаем связь между силами натяжения \(T_1\) и \(T_2\) соответственно левой и правой нитей: \[T_1\cos\alpha = T_2\cos\varphi. \tag{1}\] Запишем второй закон Ньютона для каждого груза в проекции на ось \(y\): \[\begin{cases} m_1a_{1y} = T_1 - m_1g,\\ m_2a_{2y} = T_1 - m_2g,\\ m_3a_{3y} = T_2 - m_3g,\\ m_4a_{4y} = T_2 - m_4g. \end{cases} \tag{2}\] Уравнения кинематической связи для каждой нити можно получить, приравняв изменения длин участков нитей внутри прямоугольника \(ABCD\), выраженные двумя способами — через ускорения грузов и через ускорение бусинки: \[\begin{cases} a_{1y} + a_{2y} = 2a_x\cos\alpha,\\ a_{3y} + a_{4y} = -2a_x\cos\varphi. \end{cases} \tag{3}\] Объединение уравнений (1), (2) и (3) приводит к системе \[\begin{cases} T_1\cos\alpha = T_2\cos\varphi,\\ T_1\dfrac{m_1 + m_2}{m_1m_2} - 2g = 2a_x\cos\alpha,\\ T_2\dfrac{m_3 + m_4}{m_3m_4} - 2g = -2a_x\cos\varphi, \end{cases}\] из которой получаем искомое ускорение: \[a_x = g\cdot\dfrac{k\cos\varphi - \cos\alpha}{k\cos^2\varphi + \cos^2\alpha},\] где для краткости введено обозначение \[k = \dfrac{(m_1 + m_2)m_3m_4}{(m_3 + m_4)m_1m_2}.\]

Случай \(\alpha \neq \beta\). Из геометрических соображений получаем выражение \[\varphi = \operatorname{arctg}\left(\dfrac{\operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\gamma}{\operatorname{tg}\beta}\right).\] Силы, действующие на бусинку со стороны левой и правой нитей, могут быть направлены только вдоль биссектрис угла \(K\) в треугольниках \(ABK\) и \(CDK\) соответственно, а эти биссектрисы не лежат на одной прямой из-за условия \(\alpha \neq \beta\). Поэтому если предположить, что хотя бы одна из сил натяжения \(T_1\) или \(T_2\) не равна нулю, то не будет выполняться доказанное в самом начале решения равенство \(F = 0\). Следовательно, в данном случае нити не натянуты, а все грузы свободно падают с ускорением \(g\).

Уравнения кинематической связи получим аналогично первому случаю, приравняв выраженные двумя способами изменения длин участков нитей внутри прямоугольника \(ABCD\), однако теперь будем проецировать на направления участков нитей обе составляющие ускорения бусинки: \[\begin{cases} -2g = a_x(+\cos\alpha + \cos\beta) + a_y(-\sin\alpha + \sin\beta),\\ -2g = a_x(-\cos\varphi - \cos\gamma) + a_y(-\sin\varphi + \sin\gamma). \end{cases}\] Решая записанную систему, находим искомые проекции ускорения: \[a_x = 2g\cdot\dfrac{\sin\alpha - \sin\beta + \sin\gamma - \sin\varphi}{\sin(\alpha + \varphi) - \sin(\beta + \gamma) + \sin(\alpha - \gamma) - \sin(\beta - \varphi)},\] \[a_y = 2g\cdot\dfrac{\cos\alpha + \cos\beta + \cos\gamma + \cos\varphi}{\sin(\alpha + \varphi) - \sin(\beta + \gamma) + \sin(\alpha - \gamma) - \sin(\beta - \varphi)}.\] Примечание. При приближении начального положения бусинки к прямой, равноудалённой от прямых \(AD\) и \(BC\), величина \(|a_y|\) неограниченно возрастает, поэтому пренебрегать массой бусинки в этих условиях уже нельзя.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.