Добыча угля

Сравните минимальную работу по подъёму угля с породой и работу, которую даёт реальная тепловая машина при сжигании этого угля.

\(H \leqslant \dfrac{\mu q}{g}\cdot\dfrac{T - T_0}{T}\cdot\dfrac{m}{m + M} \approx 63\) км \(\sim 60\) км.

Для поднятия угля массой \(m\) и связанных с ним грузов массой \(M\) из шахты глубиной \(H\) на поверхность требуется совершить минимальную механическую работу \(A_0 = (m + M)gH\). Идеальная тепловая машина преобразовала бы выделившееся при сжигании этого угля количество теплоты \(Q = qm\) в механическую работу \(A_1 = \eta Q\), а реальная — лишь в \(A_2 = \mu A_1\).

Добывать уголь энергетически целесообразно, если \(A_0 \leqslant A_2\), то есть если \[(m + M)gH \leqslant \mu\eta qm,\] откуда находим искомое ограничение на глубину шахты: \[H \leqslant \dfrac{\mu q}{g}\cdot\dfrac{T - T_0}{T}\cdot\dfrac{m}{m + M} \approx 63\text{ км} \sim 60\text{ км},\] где при подстановке величин \(t\) и \(t_0\) в качестве абсолютных температур \(T\) и \(T_0\) был выполнен обязательный перевод их значений в кельвины.

Примечание. Полученный результат заведомо больше реальных глубин шахт, так как найденная глубина является пределом только с точки зрения энергетической целесообразности (без учёта прочих факторов, в частности, фактического уровня залегания полезных ископаемых). Лишь несколько угольных шахт в мире имеют глубину более 1 км, а самые глубокие промышленные шахты имеют глубину около 5 км, но добывают в таких экстремальных условиях уже не уголь, а золото.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.