Вращение в полусфере

Из быстрого вращения следует, что радиус горизонтального сечения почти равен \(R\), а вертикальное движение шайбы — гармонические колебания около положения равновесия.

\(L = \dfrac{2g}{\omega^2}\),  \(\tau = \dfrac{\pi}{\omega}\),  \(S = 2R\).

Предположим, что смещение \(z\) шайбы вниз вдоль вертикальной оси \(z\), проходящей через центр \(O\) сферы (см. рисунок), мало по сравнению с \(R\) в любой момент времени, а потом проверим это предположение.

При указанном предположении отличием радиуса \(r\) окружности, являющейся сечением сферы горизонтальной плоскостью, проходящей через шайбу в некоторый момент времени, от радиуса сферы \(R\) можно пренебречь, так как это отличие пропорционально второму порядку малой величины \(z/R\).

Из условия \(r \approx R\) и закона сохранения момента импульса шайбы в проекции на ось \(z\) следует постоянство угловой скорости вращения шайбы вокруг оси \(z\).

Пусть \(m\) — масса шайбы, тогда в рамках указанных приближений нормальная реакция опоры \(N\), действующая на шайбу под малым углом \(\alpha\) к горизонту, создаёт центростремительное ускорение и вычисляется по формуле \(N \approx m\omega^2R\), а вертикальная составляющая этой силы имеет вид \[N_z = -N\sin\alpha \approx -N\cdot\dfrac{z}{R} = -m\omega^2z.\] Поскольку величина \(N_z\) пропорциональна смещению \(z\) шайбы (\(N_z = -kz\), где коэффициент \(k = m\omega^2\) можно назвать эффективной жёсткостью), а сила тяжести постоянна, то шайба будет совершать в проекции на ось \(z\) гармонические колебания с циклической частотой \[\Omega = \sqrt{\dfrac{k}{m}} = \omega.\] Координату \(z_0\) положения равновесия найдём из условия равенства нулю вертикальной составляющей результирующей силы: \[mg - m\omega^2z_0 = 0, \qquad \text{откуда} \qquad z_0 = \dfrac{g}{\omega^2}.\] Заметим, что из условия \(\omega^2R \gg g\) следует сравнение \(z_0 \ll R\), то есть использованные в ходе решения приближения корректны.

Шайба начинает движение из крайнего верхнего положения, поэтому её амплитуда колебаний \(A = z_0\), искомое смещение \(L\) — это размах колебаний (расстояние между крайними положениями): \[L = 2A = \dfrac{2g}{\omega^2},\] а искомое время \(\tau\) равно половине периода колебаний: \[\tau = \dfrac{\pi}{\omega}.\] В силу равенства \(\Omega = \omega\) в момент времени \(\tau\) шайба будет примерно в противоположной точке сферы относительно начального положения, откуда следует \[S = 2R.\] Примечание. Предлагаем читателям самостоятельно подумать, случайно ли равенство \(\Omega = \omega\) и возможно ли прийти к нему только путём качественных рассуждений, а затем использовать его для упрощения вычислений.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.