Зеркальная вертушка

«Зайчик» возникает при отражении от одного зеркала (движется быстро) или от двух (уголковый отражатель, покоится); найдите долю времени первого режима через предельный угол.

\(r = R\sin\dfrac{\pi}{4k} = 10\) см.

Лазерный <<зайчик>> может появляться двумя способами: при отражении луча только от одного зеркала и при отражении от двух зеркал.

В первом случае в силу закона отражения (равенства углов падения и отражения) отражённый луч поворачивается со скоростью в два раза большей, чем само зеркало. Во втором случае два зеркала, расположенные перпендикулярно друг другу, образуют уголковый отражатель, который возвращает луч в обратном направлении вне зависимости от угла падения.

Вычисление средней скорости <<зайчика>> сводится к нахождению долей времени, в течение которых зеркальная вертушка работает в первом и втором режиме. Для этого рассмотрим граничный случай, когда отражённый луч касается края второго зеркала. Это наблюдается, когда плоскость второго зеркала составляет с падающим лучом угол \(\alpha = \arcsin(r/R)\), что видно из рисунка, на котором построена вспомогательная окружность радиусом \(r\), касающаяся отражённого луча и продолжения падающего, которое касается края третьего зеркала симметрично отражённому лучу. Второй граничный случай наблюдается, когда падающий луч касается первого зеркала и отражается от второго. Ход луча в этом случае совпадает с изображённым на рисунке, но падающий и отражённый лучи меняются местами.

Таким образом, если угол падения луча на зеркало меньше \(\alpha\), то второго отражения не наблюдается. Следовательно, в течение поворота на угол \(2\alpha\) за каждую четверть оборота реализуется первая схема отражения, при которой <<зайчик>> движется по стене с максимальной скоростью \(v_{\max}\), а в течение поворота на угол \(\varphi = \pi/2 - 2\alpha\) реализуется вторая схема отражения, при которой <<зайчик>> покоится. Отсюда выражаем среднюю скорость: \[v_{\text{ср}} = \dfrac{2\alpha\cdot v_{\max} + \varphi\cdot 0}{\pi/2} = \dfrac{4}{\pi}\cdot v_{\max}\cdot\arcsin\dfrac{r}{R}.\] Используя условие \(v_{\max}/v_{\text{ср}} = k\), находим искомое расстояние: \[r = R\sin\dfrac{\pi}{4k} = 10\text{ см}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.