Бросок через стену

Траектория должна пройти через верхнюю точку стены и коснуться её дуги; сведите задачу к броску из верхней точки стены с минимальной скоростью.

\(v_0 = \dfrac{1}{2}\sqrt{10gR}\),  \(\varphi = \arccos\dfrac{\sqrt{15}}{10} \approx 67^\circ\),  \(d = \dfrac{1}{8}\left(\sqrt{51} - \sqrt{3}\right)R \approx 0{,}68R\).

Искомая траектория камня обязательно проходит через наивысшую точку \(O\) стены и касается дуги окружности стены в некоторой точке \(C\) (см. рисунок), иначе начальная скорость \(v_0\) была бы не минимальная, так как можно было бы путём изменения \(d\) сдвинуть траекторию так, чтобы она в каждой точке проходила с запасом над стеной. Этот факт позволяет свести исходную задачу к более простой: с какой минимальной скоростью \(v\) и под каким углом \(\alpha\) к горизонту нужно бросить камень из точки \(O\), чтобы он перелетел через стену?

В рамках новой формулировки задачи выберем начало системы координат в точке \(O\) и направим ось \(y\) вдоль вектора \(\vec v\) (под углом \(\alpha\) к горизонту), а ось \(x\) — перпендикулярно ей (см. рисунок).

Если имеющая наибольшую координату \(y\) точка \(B\) траектории камня не совпадает с имеющей наибольшую координату \(y\) точкой \(A\) стены, или, что равносильно, точка \(C\) касания траектории и стены не совпадает с точкой \(A\), то можно путём изменения угла \(\alpha\) деформировать траекторию так, чтобы она в каждой точке проходила с запасом над стеной. Следовательно, для достижения минимальной скорости \(v\) точки \(B\) и \(C\) должны совпадать с точкой \(A\) (см. рисунок).

Выразим координаты точки \(A\) и проекции ускорения \(\vec g\) на оси \(x\) и \(y\): \[A_x = OE = R\cos\alpha, \qquad A_y = EA = R(1 - \sin\alpha), \tag{1}\] \[g_x = g\cos\alpha, \qquad g_y = -g\sin\alpha. \tag{2}\] Пусть \(t\) — промежуток времени между прохождениями камнем точек \(O\) и \(A\), тогда с учётом того, что в точке \(O\) скорость камня направлена вдоль оси \(y\), а в точке \(A\) — вдоль оси \(x\), можно записать систему уравнений \[v + g_yt = 0, \qquad A_x = \dfrac{g_xt^2}{2}, \qquad A_y = vt + \dfrac{g_yt^2}{2},\] откуда после подстановки выражений (1) и (2) находим искомые величины: \[\alpha = 30^\circ, \qquad v = \dfrac{1}{2}\sqrt{2gR}. \tag{3}\] Теперь осталось ответить на вопрос задачи в исходной формулировке. Пусть \(m\) — масса камня, тогда закон сохранения энергии на участке движения до точки \(O\) имеет вид \[\dfrac{mv_0^2}{2} = \dfrac{mv^2}{2} + mgR,\] откуда с учётом результата (3) получаем минимальную начальную скорость: \[v_0 = \dfrac{1}{2}\sqrt{10gR}.\] Горизонтальная составляющая скорости камня не меняется в процессе движения и задаётся формулой \[v_g = v\cos\alpha = \dfrac{1}{4}\sqrt{6gR},\] с помощью которой находим искомый угол наклона начальной скорости: \[\varphi = \arccos\left(\dfrac{v_g}{v_0}\right) = \arccos\dfrac{\sqrt{15}}{10} \approx 67^\circ.\] Вертикальная составляющая начальной скорости \(v_{0v}\) камня, время \(t_0\) движения камня до точки \(O\) и искомое расстояние \(d\) имеют соответственно вид \[v_{0v} = \sqrt{v_0^2 - v_g^2} = \dfrac{1}{4}\sqrt{34gR},\] \[t_0 = \dfrac{v_{0v} - v\sin\alpha}{g} = \dfrac{1}{4}\sqrt{\dfrac{R}{g}}\left(\sqrt{34} - \sqrt{2}\right),\] \[d = v_gt_0 = \dfrac{1}{8}\left(\sqrt{51} - \sqrt{3}\right)R \approx 0{,}68R.\] Примечание. Любопытно, что два автора независимо друг от друга предложили на олимпиаду данную задачу (в разных формулировках, но с одинаковой сутью), поэтому имеет место редкий случай непреднамеренного соавторства.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.