Обруч с грузиком

Запишите закон сохранения энергии для обруча с грузиком, найдя среднюю энергию грузика с помощью мысленно добавленного второго грузика напротив первого.

\(\varepsilon = \dfrac{v - v_0}{v_0} = -\dfrac{m}{2M}\left(1 + \dfrac{gR}{v_0^2}\right)\).

При решении данной задачи требуется уделить особое внимание обоснованности использованных приближений, поэтому предварительно проиллюстрируем на примере двух близких чисел (\(a_1 = a\) и \(a_2 = a(1 + x)\), где \(a > 0\) и \(x \ll 1\)) некоторые свойства среднего и среднеквадратичного значений: \[a_{\text{ср.}} = \dfrac{a_1 + a_2}{2} = a\left(1 + \dfrac{x}{2}\right),\] \[a_{\text{ср.кв.}} = \sqrt{\dfrac{a_1^2 + a_2^2}{2}} = a\left(1 + x + \dfrac{x^2}{2}\right)^{1/2} \approx a\left(1 + \dfrac{x}{2} + \dfrac{x^2}{8}\right), \tag{1}\] \[\dfrac{a_{\text{ср.}} - a_1}{a} = \dfrac{x}{2} \sim x, \tag{2}\] \[\dfrac{a_{\text{ср.кв.}} - a_{\text{ср.}}}{a} = \dfrac{x^2}{8} \sim x^2. \tag{3}\] Из выражений (2) и (3) видно, что отличие среднеквадратичного значения от среднего является поправкой следующего порядка малости по сравнению с отличием среднего значения от одного из близких усредняемых чисел. Данный факт можно доказать в общем виде для произвольного количества чисел, однако в рамках решения физической задачи на олимпиаде это не требуется. На основании приведённого рассуждения далее мы не будем различать средние и среднеквадратичные значения приблизительно постоянных величин.

Примечание. Получение правильного коэффициента \(1/8\) при \(x^2\) в приблизительном разложении (1) может быть затруднительно для участников младшей лиги, поэтому за наличие неверного коэффициента (обычно \(1/4\)) при условии правильной оценки порядка малости величин баллы не снижаются.

Из условий \(m \ll M\) и \(mgR \ll Mv_0^2\) следует, что и кинетическая, и потенциальная энергии грузика малы по сравнению с кинетической энергией обруча, поэтому скорость центра обруча можно на данном этапе рассуждений считать приблизительно постоянной и равной её среднему значению \(v\).

Для нахождения средней механической энергии \(E\) грузика мысленно прикрепим к обручу второй такой же грузик диаметрально противоположно первому и пустим обруч катиться без проскальзывания с постоянной скоростью \(v\), тогда энергия грузиков будет постоянна во времени и равна \(2E\). Когда один грузик находится в нижнем положении и покоится (проскальзывания нет), а второй грузик находится в верхнем положении и имеет скорость \(2v\), выражение для энергии грузиков (при условии отсчёта потенциальной энергии от уровня поверхности) имеет вид \[2E = \dfrac{m(2v)^2}{2} + mg\cdot 2R,\] откуда находим \[E = mv^2 + mgR. \tag{4}\] Средняя кинетическая энергия обруча равна \(Mv^2\), так как согласно теореме Кёнига она складывается из энергии поступательного движения центра масс (\(Mv^2/2\)) и энергии вращательного движения в системе отсчёта центра масс (\(Mv^2/2\)), причём скорости в обоих выражениях в скобках одинаковы при отсутствии проскальзывания.

Примечание. Отметим, что аналогичным образом с помощью теоремы Кёнига можно было сразу записать выражение (4) как сумму средних кинетической и потенциальной энергий грузика.

При движении без проскальзывания трение не приводит к потерям механической энергии и выделению тепла, поэтому закон сохранения энергии обруча с грузиком имеет вид \[Mv^2 + E = Mv_0^2 + 0,\] откуда с использованием (4) находим среднюю скорость центра обруча: \[v = v_0\sqrt{1 - \dfrac{m}{M + m}\left(1 + \dfrac{gR}{v_0^2}\right)} \approx v_0\left(1 - \dfrac{m}{2M}\left(1 + \dfrac{gR}{v_0^2}\right)\right).\] Искомое относительное отличие имеет вид \[\varepsilon = \dfrac{v - v_0}{v_0} = -\dfrac{m}{2M}\left(1 + \dfrac{gR}{v_0^2}\right).\] Примечание. Отметим, что из условия не следует ни одно из утверждений \(gR \ll v_0^2\) или \(gR \gg v_0^2\), поэтому в последних скобках нельзя пренебречь никаким слагаемым по сравнению с другим.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.