Брусок на шероховатой полосе
6/10На пути скользящего по гладкой горизонтальной поверхности бруска находится шероховатая полоса шириной \(L\), в пределах которой коэффициент трения изменяется в зависимости от координаты так, как показано на рисунке. Определите минимальную скорость \(V_{min}\), которая позволит бруску преодолеть это препятствие. Размеры бруска существенно меньше ширины полосы, \(n > 1\), \(k > 1\).
Ниже вариант 1. В вариантах 2–4 другие значения \(n\) и \(k\) и график; ответы для них — в официальном решении.
▶Показать разборСкрыть разбор
ПодсказкаКинетическая энергия бруска должна быть не меньше работы силы трения на полосе. Работа равна площади под графиком \(\mu(x)\), умноженной на \(mg\).
Ответ\(V_{min} = \sqrt{\dfrac{2\mu g L}{nk}\left[1 + \dfrac{(1+n)(k-1)}{2}\right]}\).
РешениеРабота силы трения равна \(mg\), умноженному на площадь под графиком \(\mu(x)\). На участке \(0 \le x \le L/k\) коэффициент трения \(\mu/n\), а на участке \(L/k \le x \le L\) он растет линейно от \(\mu/n\) до \(\mu\): \[A_{тр} = \mu m g\left[\frac{L}{nk} + \frac{L}{2}\left(1 - \frac{1}{k}\right)\left(1 + \frac{1}{n}\right)\right] = \frac{\mu m g L}{nk}\left[1 + \frac{(1+n)(k-1)}{2}\right].\] Условие прохождения полосы \(\dfrac{m V_{min}^2}{2} \ge A_{тр}\) дает ответ выше.
Похожие задачи
- Магнитное торможение ВсОШ 2010/11, 9 кл.
- Брусок через полосу трения Ведомственная 2010/11, 10 кл.
- Ящики и верёвки МОШ 2012/13, 8 кл.
- Магнит на наклонной плите МОШ 2013/14, 10 кл.
- «Тяни-толкай» СПбГУ 2013/14, 9 кл.
- Коробка с полосками ВсОШ 2014/15, 10 кл.