Цепочка резинок и грузов с небоскрёба

Удлинение каждой резинки определяется силой, которая растягивает её: нижнюю растягивает груз, вторую снизу — два груза и т.д. Сложите все удлинения.

Пусть для того, чтобы груз на нижней резинке коснулся земли, нужно \(N\) резинок и грузов. Для числа \(N\) выполнено условие \[Nl + (\Delta l_1 + \Delta l_2 + \Delta l_3 + \dots) \geq H, \qquad (*)\] где \(\Delta l_1\) — удлинение нижней резинки, \(\Delta l_2\) — удлинение второй снизу резинки, \(\Delta l_3\) — третьей и т.д.

Удлинения резинок найдём по закону Гука. Самую нижнюю резинку растягивает сила \(mg\), вторую — \(2mg\), третью — \(3mg\) и т.д. Поэтому суммарное удлинение всех резинок, равное величине опускания нижнего груза, можно найти как \[\Delta l_1 + \Delta l_2 + \Delta l_3 + \dots = \frac{mg}{k}\,(1 + 2 + 3 + \dots + N) = \frac{mg}{k}\,\frac{N(N+1)}{2}.\] В результате неравенство \((*)\) принимает вид \[\frac{mg}{k}\,\frac{N(N+1)}{2} + Nl - H \geq 0,\] или \[N \geq -\Bigl(\frac{1}{2} + \frac{kl}{mg}\Bigr) + \sqrt{\Bigl(\frac{1}{2} + \frac{kl}{mg}\Bigr)^2 + \frac{2kH}{mg}}.\] Подставляя данные условия задачи, получим \(N \geq 39{,}5\), откуда \(N = 40\).