Линия метро и интервалы

Посчитайте полный цикл одного поезда до и после открытия станции: что добавляется к ходу туда-обратно и что к стоянкам? Интервал должен остаться прежним.

Полный цикл одного поезда на старой линии: \(2(K-1)\) перегонов по \(t\) туда и обратно и стоянки. На промежуточных станциях (\(K-2\) штуки) поезд стоит дважды, на двух конечных — по разу, всего \(2(K-2)t + 2t = 2(K-1)t\). Итого цикл \[T = 4(K-1)\,t ,\] а интервал между поездами \(\tau = \dfrac{T}{N} = \dfrac{4(K-1)\,t}{N}\).

После открытия новой конечной станции цикл увеличивается на: путь до новой станции \(2t\) в одну сторону, то есть \(4t\) туда и обратно; стоянка на новой конечной станции \(t\); старая конечная станция становится промежуточной и поезд стоит на ней дважды, то есть добавка ещё \(t\). Всего \(\Delta T = 4t + t + t = 6t\), и новый цикл \[T_1 = 4(K-1)\,t + 6t .\] Так как интервал сохранился, \(\dfrac{T_1}{N_1} = \dfrac{T}{N}\), откуда \[N_1 = \frac{(2K+1)\,N}{2(K-1)} = \frac{21\cdot 18}{18} = 21 .\] Поездов нужно добавить \[\Delta N = N_1 - N = \frac{3N}{2(K-1)} = 3 .\]