Нагрев проводника током

В установившемся режиме выделяемая мощность равна мощности теплопотерь. Как при укорачивании проводника меняются его сопротивление и площадь боковой поверхности?

Температура перестала расти, значит, установилось тепловое равновесие: мощность теплопотерь равна выделяемой в проводнике мощности. По закону Джоуля–Ленца и указанию \[\frac{U^2}{R} = kS\,\Delta t ,\] где \(k\) — коэффициент пропорциональности в законе Ньютона–Рихмана, \(S\) — площадь боковой поверхности проводника, \(\Delta t\) — разность температур проводника и окружающей среды.

Когда от проводника отрезали четверть, его сопротивление стало \(\dfrac{3}{4}R\), а площадь боковой поверхности уменьшилась до \(\dfrac{3}{4}S\). Условие теплового равновесия для укороченного проводника, подключённого к тому же источнику: \[\frac{U^2}{\frac{3}{4}R} = k\cdot\frac{3}{4}S\,\Delta t_1 .\] Коэффициент \(k\) тот же, так как геометрия и теплоизоляция проводника не изменились. Деля второе уравнение на первое, \[\frac{4}{3} = \frac{3}{4}\cdot\frac{\Delta t_1}{\Delta t} \quad\Rightarrow\quad \frac{\Delta t_1}{\Delta t} = \left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{16}{9} .\] Температура увеличится по сравнению с первым случаем на \[\Delta t_1 - \Delta t = \frac{7}{9}\,\Delta t = \frac{7}{9}\cdot 10\,^\circ\text{C} \approx 7{,}8\,^\circ\text{C}.\]