Два камня из точек A и B

Рассмотрим полёт камня, брошенного из точки \(A\). В проекции на вертикальную ось \[(v_0\sin\alpha)\,t - \dfrac{gt^2}{2} = 0,\] откуда время полёта \[t = \dfrac{2v_0\sin\alpha}{g}.\] Расстояние \(L\) между точками \(A\) и \(B\) равно \[L = tv_0\cos\alpha = \dfrac{v_0^2\sin 2\alpha}{g} = 20\text{ м}.\] Поскольку для камня, брошенного из точки \(B\), можно аналогичным образом написать \[L = \dfrac{v_0^2\sin 2\beta}{g},\] то мы получим \(\sin 2\alpha = \sin 2\beta\), и, так как по условию \(\alpha \neq \beta\), то \(2\alpha = \pi - 2\beta\), т.е. \[\alpha + \beta = \dfrac{\pi}{2}.\] Далее удобно перейти в систему отсчёта, в которой камни движутся равномерно.

В качестве тела отсчёта выберем камень, вылетевший из точки \(A\). Так как \(\vec v_1 \perp \vec v_2\) и \(v_1 = v_2 = v_0\), то вектор \(\vec v_{\text{отн}}\) есть диагональ квадрата, построенного на векторах \(\vec v_2\) и \(-\vec v_1\). Поэтому \(v_{\text{отн}} = \sqrt{2}\,v_0\). Из рис. 50 видно, что \(AC\) — кратчайшее расстояние между камнями. Найдём его: \(\delta = \alpha - 45^\circ = 30^\circ\) и, следовательно,

\[AC = \dfrac{1}{2}L = 10\text{ м}.\] Время, через которое расстояние между камнями станет минимальным, равно \[t_x = \dfrac{AC}{v_{\text{отн}}\operatorname{tg}\delta} = \dfrac{10\sqrt{3}}{20\sqrt{2}} \approx 0{,}61\text{ с}.\] Положения камней можно найти параллельным переносом отрезка \(AC\) до тех пор, пока его начало и конец не окажутся лежащими на навесной и настильной траекториях камней (рис. 51), при этом \(A'C' = AC\).