Два поршня с пружиной

Из условия равновесия поршней \[p_0S_1 + T = pS_1,\] \[p_0S_2 + T = (p + \rho gl)S_2\] находим силу натяжения пружины \[T = \dfrac{\rho glS_1S_2}{S_1 - S_2}\] (здесь \(l\) — длина деформированной пружины), \[T = k(l - l_0),\] откуда \[l = \dfrac{k(S_1 - S_2)}{k(S_1 - S_2) - \rho gS_1S_2}\,l_0.\] Удлинение пружины \[\Delta l = l - l_0 = \dfrac{\rho gS_1S_2}{k(S_1 - S_2) - \rho gS_1S_2}\,l_0,\qquad (1)\] оно равно разности перемещений первого \(x_1\) и второго \(x_2\) поршней: \[\Delta l = x_2 - x_1 = \dfrac{S_1}{S_2}x_1 - x_1 = \dfrac{x_1(S_1 - S_2)}{S_2}.\qquad (2)\] Из (1) и (2) следует \[x = \dfrac{\rho gS_1S_2^2}{k(S_1 - S_2)^2 - \rho gS_1S_2(S_1 - S_2)}\,l_0.\qquad (3)\] Это и есть зависимость \(x(k)\).

Жёсткость пружины, при которой верхний поршень «ляжет» на стык цилиндров, найдём из условия \(x_0 = l_0\): \[k_0 = \dfrac{\rho gS_1^2S_2}{(S_1 - S_2)^2}.\] Если в (3) знаменатель устремить к нулю, то это произойдёт при \(k \to k_1\), где \(k_1 = \dfrac{\rho gS_1S_2}{S_1 - S_2}\) — вертикальная асимптота.

Строим зависимость \(x(k)\); это кривая 1 на рис. 49; зависимость \(x_2(k)\) показана кривой 2.