Шайба и бочка с водой на наклонной плоскости

Потерь энергии при качении без проскальзывания нет: используйте закон сохранения энергии. Во втором опыте учтите, что при качении тонкостенного цилиндра его кинетическая энергия равна \(mV^2\), а вода движется поступательно.

По графику \(a_1 = 2\) м/с\(^2\), \(a_2 = 4\) м/с\(^2\). При скольжении шайбы вниз \(a_1 = g(\sin\alpha - \mu\cos\alpha)\), при скольжении вверх \(a_2 = g(\sin\alpha + \mu\cos\alpha)\). Отсюда \[\sin\alpha = \frac{a_1 + a_2}{2g} = 0{,}3 .\]

При качении цилиндра с идеальной жидкостью без проскальзывания потерь энергии нет. Пусть \(m\) — масса цилиндра, \(M\) — масса воды, \(n = M/m\). По закону сохранения энергии \[mV^2 + \frac{MV^2}{2} = (m + M)gh \quad\Rightarrow\quad V^2 = \frac{1 + n}{1 + 0{,}5n}\,gh .\] При \(n = 1\) получаем \(V = \sqrt{\dfrac{2}{1{,}5}\cdot 10\cdot 0{,}3} = 2\) м/с.

Перемещения связаны соотношением \(h = (x - x_0)\sin\alpha\). Тогда \(V^2 = 2a(x - x_0)\), где \[a = \frac{1 + n}{2 + n}\,g\sin\alpha = \frac{2}{3}\cdot 10\cdot 0{,}3 = 2~\text{м/с}^2 .\]

По теореме об изменении импульса системы \((m + M)\vec a = (m + M)\vec g + \vec N + \vec F_{\text{тр}}\). Проекции: \(N = (m + M)g\cos\alpha\), \((m + M)a = (m + M)g\sin\alpha - F_{\text{тр}}\). Отсюда \(F_{\text{тр}} = \dfrac{g\sin\alpha}{2 + n}(m + M)\). Качение без проскальзывания происходит при \(F_{\text{тр}} \le \mu N\), т.е. при \[\mu \ge \frac{\tan\alpha}{2 + n} = \frac{\tan\alpha}{3} \approx 0{,}1 .\]