Смесь гелия и кислорода

Сравните приращения внутренней энергии смеси в двух процессах, учитывая, что при одинаковом подводимом тепле внутренняя энергия растёт пропорционально изменению температуры. Отношение \(C_P/C_V\) смеси запишите через числа молей гелия и кислорода.

В изохорическом процессе \(Q = \Delta U_1\), откуда \[C_V = \frac{Q}{\Delta T_1} = 40~\text{Дж/К}.\] Приращение внутренней энергии в изобарическом процессе \(\Delta U_2 = \dfrac{Q}{\Delta T_1}\Delta T_2\). Первое начало термодинамики \(Q = \Delta U_2 + A\) даёт \[A = Q\left(1 - \frac{\Delta T_2}{\Delta T_1}\right) = 200~\text{Дж}.\] Теплоёмкость в изобарическом процессе \(C_P = \dfrac{Q}{\Delta T_2} = 60\) Дж/К.

Пусть \(\nu_1\) — число молей гелия, \(\nu_2\) — число молей кислорода. Тогда \(C_V = 1{,}5R\nu_1 + 2{,}5R\nu_2\), \(C_P = 2{,}5R\nu_1 + 3{,}5R\nu_2\), и \[\frac{C_P}{C_V} = \frac{5x + 7}{3x + 5} = \frac{\Delta T_1}{\Delta T_2} = 1{,}5, \qquad x = \frac{\nu_1}{\nu_2} = \frac{N_{\text{Г}}}{N_{\text{К}}} .\] Отсюда \(5x + 7 = 4{,}5x + 7{,}5\), т.е. \(x = 1\).