Осколки фейерверка у склона

Продолжительность полёта максимальна, когда начальная скорость направлена перпендикулярно горизонту. Для дальности на склон выгодно подобрать направление вектора \(\vec V_0\) так, чтобы он был равноудалён от склона и вертикали.

Наибольшая продолжительность полёта наблюдается в случае \(\vec V_0 \uparrow\downarrow \vec g\), тогда \(V_0 = \dfrac{gT}{2} = 45\) м/с.

За время \(T\) полёта перемещение осколка, упавшего на склон, \(\vec r(T) = \vec V_0 T + \dfrac{\vec g T^2}{2}\) (см. рис.).

Проекции векторов \(\vec V_0 T\) и \(\dfrac{\vec g T^2}{2}\) на направление нормали к склону равны по величине: \(V_0 T\sin\beta = \dfrac{gT^2}{2}\cos\alpha\), где \(\beta\) — угол между \(\vec V_0\) и склоном. Отсюда продолжительность полёта \[T = \frac{2V_0}{g}\,\frac{\sin\beta}{\cos\alpha}.\] Дальность \(S\) равна алгебраической сумме проекций векторов \(\vec V_0 T\) и \(\dfrac{\vec g T^2}{2}\) на склон: \[S = V_0 T\cos\beta - \frac{gT^2}{2}\sin\alpha = \frac{V_0^2}{g\cos^2\alpha}\bigl(\sin(\alpha + 2\beta) - \sin\alpha\bigr).\] Наибольшей дальности соответствует \(\sin(\alpha + 2\beta) = 1\), т.е. \(\alpha + 2\beta = \dfrac{\pi}{2}\) (вектор \(\vec V_0\) направлен по биссектрисе угла между склоном и вертикалью). Тогда \[S_{\max} = \frac{V_0^2(1 - \sin\alpha)}{g\cos^2\alpha} = \frac{V_0^2}{g(1 + \sin\alpha)} = 135~\text{м}.\]