Груз на пружине и подставка

Рассмотрим случай \(a < g\). До отрыва груза от подставки \[a = \dfrac{mg - N - kx}{m},\] где \(N\) — сила реакции опоры, \(x\) — удлинение пружины. В момент отрыва груза от подставки \(N = 0\), а удлинение \[x_0 = \dfrac{m(g - a)}{k}.\] В положении равновесия груза на пружине её удлинение \(x_1 = \dfrac{mg}{k}\). После отрыва от подставки на груз будет действовать сила \(F = mg - kx\). График зависимости силы \(F\) от удлинения \(x\) пружины приведён на рис. 57.

В момент начала движения подставки и в момент максимального удлинения пружины скорость груза равна нулю, в точке \(x_1\) — скорость максимальна.

Таким образом, на участке \((0, x_1)\) увеличение кинетической энергии груза равно работе внешних сил \(A_1\). На рис. 58 эта работа численно равна площади трапеции над осью \(Ox\). На участке \((x_1, L)\) уменьшается до нуля кинетическая энергия, и работа внешних сил \(A_2\) численно равна площади треугольника под осью \(Ox\). Ясно, что площади должны быть равны друг другу, т.е. \(A_1 = A_2\): \[\dfrac{1}{2}(x_0 + x_1)\,ma = \dfrac{1}{2}(L - x_1)(kL - mg),\] \[\left(\dfrac{x_0}{x_1} + 1\right)\dfrac{a}{g} = \left(\dfrac{L}{x_1} - 1\right)\left(\dfrac{L}{mg/k} - 1\right),\] \[2\dfrac{a}{g} - \left(\dfrac{a}{g}\right)^2 = \left(\dfrac{L}{x_1} - 1\right)^2,\] \[\left(\dfrac{L}{x_1} - 1\right)^2 + \left(\dfrac{a}{g} - 1\right)^2 = 1.\] Если на графике \(L\) откладывать в единицах \(x_1\), ускорение \(a\) в единицах \(g\), то график \(L(a)\) имеет наиболее простой вид.

Для \(\dfrac{a}{g} < 1\) соответствующая часть графика \(L(a)\) представляет собой четверть дуги окружности с центром в точке \(\dfrac{L}{x_1} = 1\), \(\dfrac{a}{g} = 1\) (рис. 58).

В случае, если \(a \geqslant g\), отрыв груза от подставки происходит сразу после начала её движения и \(L = 2x_1\). Эта часть графика \(L(a)\) представляет собой прямую линию. Окончательно имеем, что максимальная длина пружины \[L = \begin{cases} x_1\left[1 + \sqrt{\dfrac{a}{g}\left(2 - \dfrac{a}{g}\right)}\right] & \text{при } a < g,\\[3mm] 2x_1 & \text{при } a \geqslant g. \end{cases}\]