Паровоз

Направление ветра можно найти по касательной к начальному участку шлейфа. Запишите координаты паровоза в системе отсчёта ветра и уравнение траектории дыма.

Направление ветра оцениваем по касательной, проведённой к начальному участку шлейфа: ветер дует от железной дороги в северо-восточном направлении, примерно под углом \(30^\circ\) к меридиану. Если бы паровоз двигался с севера на юг, угол между шлейфом и дорогой по мере разгона уменьшался бы, а он увеличивается. Значит, паровоз движется с юга на север.

Движение равноускоренное из состояния покоя, модуль скорости \(u(t) = at\). Ось \(OX\) направим перпендикулярно железной дороге, ось \(OY\) — вдоль неё, начало — в начальной точке шлейфа. В системе отсчёта ветра проекции скорости паровоза: \[w_y = u(t) + v_0\cos\alpha, \qquad w_x = v_0\sin\alpha.\] Координаты паровоза в этой системе: \[y(t) = v_0\cos\alpha\,t + \frac{at^2}{2}, \qquad x(t) = v_0 t\sin\alpha.\] Форма шлейфа не меняется при переходе в систему ветра, поэтому траектория паровоза совпадает с траекторией дыма: \[y = \frac{a\,x^2}{2v_0^2\sin^2\alpha} + x\operatorname{ctg}\alpha.\] Это парабола с вершиной \[x_0 = \frac{v_0^2}{a}\sin\alpha\cos\alpha, \qquad y_0 = \frac{v_0^2}{2a}\cos^2\alpha.\] Из рисунка \(y_0 = 750\) м и \(x_0 = 870\) м, тогда \(\dfrac{y_0}{x_0} = \dfrac{\operatorname{ctg}\alpha}{2}\), откуда \(\operatorname{ctg}\alpha = 1{,}72\) (\(\alpha = 30^\circ\)). Скорость ветра \[v_0 = \sqrt{\frac{2ay_0}{\cos^2\alpha}} = 10~\text{м/с}.\] Расстояние между крайними по оси \(x\) точками параболы \(\Delta x = 2000\) м, и \(\Delta x = v_0\tau\sin\alpha\), откуда \(\tau = 400\) с, а пройденный путь \(s = \dfrac{a\tau^2}{2} = 4000\) м. Минимальная скорость ветра относительно паровоза \(v_{\min} = v_0\sin\alpha = 5\) м/с.