Задачи › Сообщающиеся сосуды, гидравлический пресс

Блоки и цилиндры

  1. Блоки и цилиндры

    ВсОШ 2017/18, 9 кл.
    6/10

    В двух сообщающихся сосудах, площади сечения которых \(S_1\) и \(S_2\), находится жидкость плотностью \(\rho\). Сосуды герметично закрыты поршнями, которые могут перемещаться под действием системы блоков и нерастяжимых нитей, связанных с рычагом \(P\) (см. рис.). Вначале нити не натянуты и не провисают, а поршни соприкасаются с жидкостью. Рычаг медленно смещают вверх на небольшое расстояние \(h\) так, что он остаётся горизонтальным, а нити вертикальными.

    Рисунок

    1. В предположении, что \(S_1 > S_2\), определите, в каких направлениях и на какие расстояния сместятся поршни. Какую силу \(F_1\) необходимо прикладывать к рычагу, чтобы удерживать его после смещения на расстояние \(h\)?

    2. Какая сила \(F_2\) потребуется для перемещения рычага вверх на расстояние \(h\) при \(S_2 = 2S_1\)?

    Массами рычага, блоков, нитей и поршней можно пренебречь. Трения нет. Сосуды от подставки не отрываются. Давление паров жидкости гораздо меньше атмосферного давления \(p_0\). Ускорение свободного падения \(g\).

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Объём жидкости не меняется, поэтому смещения поршней связаны. Изменения длин вертикальных участков нитей связаны смещением рычага.

    Ответ

    1) Поршень \(S_2\) поднимается на \(x = \dfrac{3hS_1}{2S_1 - S_2}\), поршень \(S_1\) опускается на \(y = \dfrac{3hS_2}{2S_1 - S_2}\);  \(F_1 = \dfrac{9\rho gh\,S_1S_2(S_1+S_2)}{(2S_1 - S_2)^2}\);  2) \(F_2 = 3p_0S_1\).

    Решение

    Объём жидкости не меняется, поэтому поршни могут двигаться только в противоположных направлениях: поршень \(S_2\) смещается вверх, а \(S_1\) — вниз. Пусть при подъёме рычага на \(h\) правый поршень поднялся на \(x\), а левый опустился на \(y\). Из несжимаемости жидкости \(y = xS_2/S_1\).

    Длина участка \(AB\) нити увеличивается на \(\Delta l_1 = h + y\), длина участков \(CD\) и \(EF\) уменьшается на \(\Delta l_2 = x - h\). Длина нити не меняется, поэтому \(\Delta l_1 = 2\Delta l_2\), т.е. \(h + y = 2x - 2h\). Отсюда \[x = \frac{3hS_1}{2S_1 - S_2}, \qquad y = \frac{3hS_2}{2S_1 - S_2}.\]

    Рисунок

    Пусть \(p_1\) — давление в жидкости под поршнем в левом цилиндре, тогда давление под правым поршнем \(p_2 = p_1 - \rho g(x + y) = p_1 - \rho gx\left(1 + \dfrac{S_2}{S_1}\right)\). Условия равновесия поршней: для левого \(T + p_1S_1 = p_0S_1\), для правого \(2T + p_2S_2 = p_0S_2\). Отсюда \[p_1 = p_0 - \rho gx\,\frac{S_2(S_1+S_2)}{(2S_1 - S_2)S_1}, \qquad T = (p_0 - p_1)S_1 = \rho gx\,\frac{S_2(S_1+S_2)}{2S_1 - S_2}.\] Сила, приложенная к рычагу, \(F_1 = 3T\), т.е. \[F_1 = \frac{9\rho gh\,S_1S_2(S_1+S_2)}{(2S_1 - S_2)^2}.\]

    При \(S_2 = 2S_1\) на правый поршень действуют силы давления и натяжения вдвое большие, чем на левый, поэтому поршни не могут двигаться в противоположных направлениях без отрыва от поверхности жидкости. Смещение возможно лишь при отрыве поршней от жидкости. При перемещении рычага силы не меняются и равны \(T = p_0S_1\), \(F_2 = 3T = 3p_0S_1\).

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх