Гидравлическо-пружинные весы

Цилиндры связаны несжимаемой жидкостью: смещения их торцов связаны объёмом. Запишите условие равновесия каждого цилиндра отдельно, учитывая, что давления на их нижних гранях отличаются на \(\rho g h\).

\(mg=h\left(2S\rho g+\dfrac{5}{3}k\right)\), где \(m\) — масса груза, \(\rho\) — плотность жидкости.

Ответ не зависит от атмосферного давления \(P_A\), поэтому его учитываем.

В исходной ситуации (без груза) равновесие цилиндров описывается уравнениями \[M_1 g+S P_A=S P\quad\text{(узкий цилиндр)},\qquad M_2 g+2S P_A=2S P\quad\text{(широкий цилиндр)}.\] Здесь учтено, что нижние торцы цилиндров находятся на одном уровне, т.е. давление в жидкости на их уровне одинаково и равно \(P\). Отсюда массы цилиндров различаются в \(2\) раза: \(M_2=2M_1\).

Из условия несжимаемости жидкости следует, что если разность высот цилиндров равна \(h\), то узкий цилиндр смещён на \(\tfrac{2h}{3}\), а широкий — на \(\tfrac{h}{3}\) в другую сторону.

Условие равновесия узкого цилиндра с грузом (рисунок решения): \[M_1 g+S P_A+\frac{2kh}{3}=S P_1,\] где \(P_1\) — давление на нижней грани этого цилиндра. Оно не равно \(P-\rho g\frac{2h}{3}\), так как после смещения поршней давление внутри коробки в каждой точке изменилось. Перепишем уравнение как \[M_1 g+S P_A-S P_1=-\frac{2kh}{3}.\]

Для широкого цилиндра, опущенного на \(\tfrac{h}{3}\) и нагруженного грузом \(m\): \[2M_1 g+2S P_A+mg=\frac{kh}{3}+2S\left(P_1+\rho g h\right),\] где \(P_1+\rho g h\) — давление на нижней грани этого цилиндра.

Умножим первое из уравнений на \(2\) и подставим его во второе, записанное в виде \(2M_1 g+2S P_A-2S P_1=\dfrac{kh}{3}+2S\rho g h-mg\): \[-\frac{4kh}{3}=\frac{kh}{3}+2S\rho g h-mg.\] Отсюда искомый вес груза \[mg=h\left(2S\rho g+\frac{5}{3}k\right).\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.