Три сообщающихся сосуда с поршнями

Натяжение невесомой нити одинаково на всём участке; из равновесия самого большого поршня найдите давление под ним, а затем связывайте смещения поршней через постоянный объём жидкости. Давление на глубине растёт на \(\rho gX\).

\(X=\dfrac{F_0}{10\rho gS}\).

Обозначим силы, действующие на меньший и средний поршни в начальной ситуации, как \(T_1\) и \(T_2\). Начальное давление под каждым поршнем — \(P_1\), масса поршня — \(M\). После увеличения внешней силы до \(2F_0\) натяжения участков нити до и после точки приложения обозначим \(T_3\) и \(T_4\). Искомое смещение поршня площадью \(3S\) обозначим \(X\), сопутствующие смещения других поршней — \(y\).

Условие равновесия нити в начальной ситуации (натяжение свободного участка невесомой нити одинаково вдоль всего участка): $$F_0=T_1-T_2.$$ Для поршней, слева направо, равновесие определяется равенствами $$T_1=Mg-P_1S,  T_2=Mg-2P_1S,  0=Mg-3P_1S.$$ Из последнего уравнения следует, что под большим поршнем в равновесии всегда одно и то же давление \(P_1=\dfrac{Mg}{3S}\). Отсюда $$F_0=T_1-T_2=P_1S=\dfrac{Mg}{3}.$$

После увеличения внешней силы условие равновесия нити имеет вид $$2F_0=T_3-T_4.$$ Равновесие поршней: $$T_3=Mg-S\bigl(P_1+\rho g(X-y)\bigr),  T_4=Mg-2S\bigl(P_1+\rho g(X+y)\bigr).$$ Здесь учтено, что под большим поршнем давление всегда равно \(P_1\), что давление в жидкости при увеличении глубины на \(X\) возрастает на \(\rho gX\), и что смещения малого и среднего поршней одинаковы по величине вследствие нерастяжимости нити.

Из сохранения объёма жидкости связь смещений: $$yS+3SX=2Sy, откуда y=3X.$$

Проводя преобразования: $$2F_0=T_3-T_4=P_1S+\rho gS(3y+X)=F_0+10\rho gSX,$$ откуда $$X=\dfrac{F_0}{10\rho gS}.$$

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.