Поплавки с резинками

Масса поплавков мала, поэтому в каждом положении уравновешены сила Архимеда, сила тяжести и натяжения резинок. Запишите равновесие каждого поплавка через длину нерастянутой резинки \(L_0\) и исключите \(L_0\); затем учтите, что после заполнения нижнего поплавка натяжения резинок становятся одинаковыми.

\(L_X=\dfrac{3L_1+L_2}{4}\).

Пусть \(V\) — объём одного поплавка, \(\rho\) — плотность жидкости, \(L_0\) — длина нерастянутой резинки, \(L_X\) — искомая длина растянутой нижней резинки после полного погружения верхнего поплавка, \(k\) — жёсткость резинки.

Так как стенки очень тонкие, масса поплавка мала, поэтому условие равновесия верхнего поплавка в начальной ситуации имеет вид $$\dfrac{3}{4}V\rho g=k(L_1-L_0).$$ Условие равновесия нижнего поплавка в начальной ситуации: $$V\rho g+k(L_1-L_0)=k(L_2-L_0).$$ Из этих двух уравнений получаем $$\dfrac{3}{4}k(L_2-L_1)=k(L_1-L_0),  т.е.  L_0=\dfrac{7L_1-3L_2}{4}.$$

После заполнения пустотелого поплавка жидкостью силы натяжения обеих резинок становятся одинаковыми, а условие равновесия верхнего поплавка (теперь он погружён целиком) принимает вид $$V\rho g=k(L_X-L_0).$$ Из первого уравнения \(V\rho g=k(L_2-L_1)\). Подставляя \(L_0\): $$L_X=L_0+(L_2-L_1)=\dfrac{3L_1+L_2}{4}.$$

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.