Грузовики на мосту

Сначала найдите соотношение между числом пустых и груженых машин: за одно и то же время в обе стороны должно проходить одинаковое число машин. Затем запишите, что суммарный вес машин на мосту не превышает предела, и для каждого типа машин получите ограничение на их число.

\(24\) грузовика: \(9\) пустых и \(15\) груженых.

Пусть \(L\) — длина всего пути от фабрики до карьера, \(N\) — искомое число всех машин, \(N_П\) — число пустых машин, которые едут от фабрики в карьер, \(N_Г\) — число груженых машин, которые едут обратно, \(N_П+N_Г=N\). Пусть \(M_П\) и \(M_Г\) — массы пустой и груженой машины.

При равномерном темпе работы в любом месте пути количество машин, проехавших за одно и то же время в одну сторону, равно числу машин, проехавших в другую сторону; иначе где-то возникнет нехватка или избыток машин. Поэтому $$\dfrac{L/N_П}{V_П}=\dfrac{L/N_Г}{V_Г},  \dfrac{N_Г}{N_П}=\dfrac{V_П}{V_Г}=\dfrac{60}{36}=\dfrac{5}{3},$$ откуда $$N_Г=\dfrac{V_П}{V_Г+V_П}N=\dfrac{5}{8}N,  N_П=\dfrac{V_Г}{V_Г+V_П}N=\dfrac{3}{8}N.$$

Поскольку мост занимает примерно треть всего пути, по нему одновременно едут не больше \(N_П/3\) пустых и \(N_Г/3\) груженых машин. Груженая машина весит примерно в \(19/6\) раза больше пустой: \(19M_П/6=M_Г\).

Пустые машины на мосту. Общий вес машин на мосту не больше предела: $$\dfrac{M_П N_П}{3}+\dfrac{M_Г N_Г}{3}=\dfrac{M_П N_П}{3}+\dfrac{19M_П}{6}\cdot\dfrac{5N_П/3}{3}=\dfrac{113}{54}M_П N_П\le 19M_П,$$ т.е. \(N_П\le 9{,}07\).

Аналогично для груженых машин: $$\dfrac{M_П N_П}{3}+\dfrac{M_Г N_Г}{3}=\dfrac{M_Г N_Г}{3}+\dfrac{6M_Г}{19}\cdot\dfrac{3N_Г/5}{3}=\dfrac{113}{285}M_Г N_Г\le 6M_Г,$$ т.е. \(N_Г\le 15{,}1\).

Отсюда максимальные значения \(N_П=9\), \(N_Г=15\), \(N=24\).

Заметим, что при таком числе машин расстояние между груженными машинами составляет \(L/15\), и между шестью груженными машинами получается \(5L/15=L/3\), что чуть длиннее моста, поэтому на мосту может быть только 5 груженых машин; между четырьмя пустыми машинами расстояние \(3L/9=L/3\), и на мосту не будет больше машин, чем можно.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.