Стержень в гладкой сфере

Запишите равновесие сил в горизонтальном направлении и равенство моментов сил относительно центра масс стержня.

Обозначим крайнюю нижнюю точку стержня точкой 1, верхнюю — точкой 2, \(\alpha\) — угол между точками 1, центром сферы и точкой 2. Второй закон Ньютона в проекции на горизонтальную ось: \(F_{\text{тр}} = N_2 \sin\alpha\), то есть \(\mu N_1 = N_2 \sin\alpha\). Равенство моментов сил относительно центра масс стержня: \(F_{\text{тр}}\, l_{\text{тр}} + N_2\, l_N = N_1\, l_N\), где плечи \(l_{\text{тр}} = \dfrac{a}{2}\sin\dfrac{\alpha}{2}\), \(l_N = \dfrac{a}{2}\cos\dfrac{\alpha}{2}\). Тогда \[\mu\,\mathrm{tg}\dfrac{\alpha}{2} = 1 - \dfrac{\mu}{\sin\alpha}, \qquad \mu = \dfrac{1}{\mathrm{tg}\dfrac{\alpha}{2} + \dfrac{1}{\sin\alpha}}.\] Здесь \(\sin\dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{a}{2R}\), \(\sin\alpha = 2\sin\dfrac{\alpha}{2}\cos\dfrac{\alpha}{2}\). Подставляя тригонометрические функции, \[\mu = \dfrac{2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}}{2\sin^2\frac{\alpha}{2} + 1} = \dfrac{\dfrac{a}{R}\sqrt{1 - \left(\dfrac{a}{2R}\right)^2}}{\dfrac{a^2}{2R^2} + 1}.\]