Максимальная мощность на резисторах

Выразите мощность на внешнем сопротивлении \(R\) через внутреннее сопротивление \(r\) батарейки и найдите, при каком \(R\) она максимальна.

По закону Ома \(U = I r + I R\). Мощность на внешнем резисторе \[P = I^2 R = \dfrac{U^2 R}{(r + R)^2} = \dfrac{U^2}{\dfrac{r^2}{R} + 2r + R} = \dfrac{U^2}{f(R)}.\] Мощность максимальна, когда \(f(R)\) минимальна. Функция \(f(R)\) имеет единственный минимум при \(R > 0\); докажем, что он достигается при \(R = r\). Для малого \(\Delta\) \[P(r) - P(r + \Delta) = \dfrac{U^2 r}{4r^2} - \dfrac{U^2 (r + \Delta)}{(2r + \Delta)^2} = \dfrac{U^2 r\,\Delta^2}{4r^2(2r + \Delta)^2} > 0,\] значит, мощность максимальна при \(R = r\).

Из имеющихся резисторов нужно составить общее внешнее сопротивление, максимально близкое к \(r = 1\) Ом. Подходят, например, резисторы \(2\), \(3\), \(6\) Ом или \(1{,}5\) и \(3\) Ом, соединённые параллельно: их общее сопротивление равно \(1\) Ом. Максимальная мощность \[P_{\max} = \dfrac{U^2 r}{(2r)^2} = \dfrac{I_0^2 r}{4} = 0{,}25\text{ Вт}.\]