Таяние льда порциями горячей воды

Для каждой операции запишите уравнение теплового баланса: сколько льда растаяло. Что получается для толщины слоя льда после каждой операции?

Для \(n\)-го наливания воды (толщина слоя воды \(h_n\)) уравнение теплового баланса: \[c_{\text{в}} T_1 \rho_{\text{в}} h_n S = \lambda\,\Delta h_n\,S\,\rho_{\text{л}}, \qquad \Delta h_n = \dfrac{c_{\text{в}} T_1 \rho_{\text{в}}}{\lambda\,\rho_{\text{л}}}\,h_n = k\,h_n,\] где \(k\) — постоянная величина. Установившаяся температура равна \(0\,^\circ\text{C}\), часть льда толщины \(\Delta h_n\) превратилась в воду, которую перед следующей операцией сливают. Площадь сечения \(S\) сокращается. Последовательность \(h_n\) образует геометрическую прогрессию: \[h_1 = H - h,\quad \Delta h_1 = k h_1;\qquad h_2 = h_1 + k h_1,\quad \Delta h_2 = h_1(1 + k)k;\qquad\dots\qquad h_n = h_1(1 + k)^{n-1}.\] Условие того, что весь лёд растаял, — толщина слоя воды не меньше высоты сосуда: \(h_{n+1} \ge H\), то есть \[(H - h)(1 + k)^n \ge H \quad\Rightarrow\quad (1 + k)^n \ge \dfrac{H}{H - h} = 5.\] Левая часть растёт с \(n\), поэтому наименьшее значение \(n\) находится подбором: \(n = 4\).