Поезд на закруглении

На пассажира действуют три взаимно перпендикулярных ускорения: \(g\), центростремительное и тангенциальное. Найдите каждое из них, а затем результирующее ускорение.

Пусть начальная скорость поезда равна \(v_0\), конечная \(v_1\), тогда \(v_0 = \alpha v_1\). Поскольку скорость меняется линейно, средняя скорость равна \[\dfrac{v_0 + v_1}{2} = \dfrac{(\alpha+1)v_0}{2} = \dfrac{S}{t} \quad\Rightarrow\quad v_1 = \dfrac{2S}{(\alpha+1)t}.\] Тангенциальное ускорение \[a_\tau = \left|\dfrac{v_1 - v_0}{t}\right| = \dfrac{(\alpha-1)v_1}{t} = \dfrac{2S(\alpha-1)}{t^2(\alpha+1)}.\] Радиус траектории \(r = S/\varphi\). Скорость \(v_2\) в середине участка находим из \[\dfrac{S}{2} = \dfrac{v_2^2 - v_1^2}{2a} = \dfrac{v_0^2 - v_2^2}{2a} \quad\Rightarrow\quad v_2 = \sqrt{\dfrac{\alpha^2+1}{2}}\,v_1.\] Центростремительное ускорение \[a_n = \dfrac{v_2^2}{r} = \dfrac{2S\varphi}{t^2}\cdot\dfrac{\alpha^2+1}{(\alpha+1)^2}.\] Ускорение свободного падения, центростремительное и тангенциальное ускорения взаимно перпендикулярны, поэтому результирующее ускорение \[a = \sqrt{g^2 + a_n^2 + a_\tau^2}.\] Связь веса и массы \(P = m a\) даёт \(m = P/a\). Подставляя данные задачи, получаем \(m \approx 85{,}6\) кг.