Задачи › Скорость заполнения, потоки, «пробки»

Пять вставленных сосудов и камень

  1. Пять вставленных сосудов и камень

    Росатом 2019/20, 7 кл.
    5/10

    Пять цилиндрических сосудов вставлены друг в друга. Площадь основания самого маленького сосуда \(S\), у остальных — \(2S\), \(3S\), \(4S\) и \(5S\). Высота самого широкого сосуда — \(h\), остальных — \(2h\), \(3h\), \(4h\) и \(5h\) (см. рисунок). В сосуды налита вода: во все внутренние — до верху, в самый широкий — до половины. Кроме того, в самом широком стакане лежит камень, полностью покрытый водой. Камень перекладывают последовательно в более широкие сосуды, а затем назад. После того как камень снова оказался в самом широком сосуде, широкий сосуд будет заполнен водой до самого верха, при этом вода из этого сосуда не выливалась. Найти отношение суммарного объема воды в сосудах к объему камня. Указание. Объем цилиндра равен произведению площади его основания на высоту.

    Рисунок
    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    После возврата камня в самый широкий сосуд в каждом из внутренних сосудов воды не хватает на объём камня. Эта вода вся собирается в нижнем сосуде, площадь которого, не занятая другими сосудами, равна \(S\).

    Ответ

    \(v/V = \dfrac{1}{115} \approx 0{,}0087\).

    Решение

    После того как камень окажется снова в самом широком сосуде, в каждом из четырёх сосудов с меньшими сечениями воды будет меньше ровно на объём камня. Вся эта вода окажется в нижнем сосуде и заполнит его доверху. Площадь сечения этого сосуда, не занятая другими сосудами, равна \(5S - 4S = S\), поэтому объём одного камня \(v\) находим из формулы \(4v = S\dfrac{h}{2}\), откуда \(v = \dfrac{Sh}{8}\).

    Полный объём воды в сосудах найдём, суммируя объёмы воды в сосудах до перекладывания камня. Площадь сечения каждого сосуда, не занятая вставленным в него сосудом, равна \(S\): \[V = \frac{h}{2}S - v + 2Sh + 3Sh + 4Sh + 5Sh = \frac{29}{2}Sh - v = \frac{115}{8}Sh.\] Отсюда отношение объёма камня к объёму воды в сосудах \[\frac{v}{V} = \frac{1}{115} \approx 0{,}0087.\]

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх