Формула Пуазейля

Решение

A1. Для нахождения диаметра выданного вам капилляра соберем установку как на рисунке.

В дальнейшем всегда будем использовать желтую иглу в качестве адаптера для подсоединения капилляра. Будем оттягивать поршень шприца до тех пор, пока весь капилляр не будет занят водой. Затем измерим объем воздуха в шприце \(V\). Этот объем будет равен объему воды внутри капилляра: \[V=\pi\frac{d^2_к}{4}l_к,\] где \(d_к\) – диаметр капилляра, \(l_к\) – длина капилляра.

Проведем несколько измерений объема и найдем среднее значение. \[V_1=0.25~мл,~V_2=0.26~мл,~V_3=0.24~мл\implies V=(0.250\pm0.005)~мл,\\l_к=(90.0\pm0.05)~см.\]Тогда:

Ответ:

\[d_к=\sqrt{\frac{4V}{\pi l_к}}=(0.59\pm0.01)~мм\]

Погрешность рассчитана по формуле:

\[\Delta d_к=\frac{1}{2}d_к\left(\frac{\Delta V}{V}+\frac{\Delta l_к}{l_к}\right).\]После проведения этого опыта в капилляре могут остаться капельки воды, которые будут влиять на последующие измерения. Для того чтобы избавиться от них, мы должны в собранной установке заменить шприц \(1~мл\) на систему «шприц на \(160~мл\) – трубка – шприц на \(160~мл\) с поршнем» и с помощью поршня для шприца на \(160~мл\) быстро выдуть все капли.

A2. Для нахождения динамической вязкости воздуха и диаметра серой иглы соберем установку как на рисунке.

Вначале будем производить измерения с капилляром, так как его диаметр нам известен. Если мы наденем капилляр на наконечник шприца (как показано на рисунке) и опустим первый шприц относительно второго, то жидкость будет перетекать по трубке из верхнего шприца в нижний. Тогда воздух будет выходить из нижнего шприца через капилляр. Нам известно, что при течении жидкости или газа по трубке кругового сечения для потока массы жидкости или газа применима формула Пуазейля:

\[Q=\pi\rho\frac{\Delta\rho}{8\eta l}R^4\]Рассмотрим вытекание воздуха через капилляр. Поток массы через капилляр по формуле Пуазейля равен:

\[Q_1=\frac{\pi\rho_{возд}\Delta\rho R^4_к}{8\eta_{возд}l_к}\]где \(\rho_{возд}\) – плотность воздуха, \(\Delta\rho\) – разность давлений на концах капилляра, \(R_к={d_к}/{2}=(0.295\pm0.005)~мм\) – радиус капилляра, \(\eta_{возд}\) – динамическая вязкость воздуха.

В это время такой же поток воздуха проходит внутри шприца с двумя наконечниками. Считая, что скорость подъема жидкости постоянна за интервал времени \(dt\), и учитывая, что скорость движения воздуха в шприце с двумя наконечниками равна скорости подъема жидкости, для потока воздуха в шприце можно записать формулу:

\[Q_2=\pi\rho_{возд}R^2_ш\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt},\]где \(R_ш=(1.900\pm0.025)~см\) – радиус шприца на \(160~мл\), \(\mathrm dx\) – высота, на которую поднимается уровень жидкости в нижнем шприце за время \(\mathrm dt\).

Будем считать, что в пределах \(\mathrm dx=1~см\) скорость остается постоянной, поэтому в дальнейшем будем производить все измерения для \(\mathrm dx=(1.00\pm0.05)~см.\) Выбирать значение \(\mathrm dx>1~см\) не желательно, так как из-за этого увеличится время проведения эксперимента; выбирать значение \(\mathrm dx<1~см\) также нежелательно, так как в результате этого возрастет погрешность измерения.

Теперь необходимо найти \(\Delta p\). Разность давлений воздуха на концах капилляра равна разности давления воздуха внутри нижнего шприца и атмосферного давления. Такая же разность давлений будет между воздухом в нижнем шприце и воздухом в верхнем шприце. В то же время она равна сумме гидростатического давления и давления, создаваемого на концах трубки за счет вязкого течения воды:

\[\Delta p=\rho_{воды}gh+\Delta p'.\]Давление, создаваемое за счет вязкости воды, можно найти из формулы Пуазейля, зная динамическую вязкость воды \(\eta_{воды}=1.004\cdot 10^{−3}~Па\cdot с\) (при \(t=20\,^\circ\mathrm C\)):

\[\Delta\rho'=\frac{8R^2_ш\eta_{воды}l_к}{R^4_к}\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}\]Для оценки величины этого давления достаточно провести одно измерение \(\mathrm dt\) для любого подходящего значения \(\mathrm dx\) и \(h\). Во время всех дальнейших измерений за значение \(h\) будем брать среднее между максимальной \(h_1\) и минимальной \(h_2\) разностью высот столба за время \(\mathrm dt\). Для значения \(h=50~см\) получим \(\mathrm dt= 13.29~с.\) Тогда:

\[\Delta p'\approx9~Па,\qquad \rho_{воды}gh=4900~Па.\]Отсюда следует, что \(\rho_{воды}gh\gg\Delta p',\) т.е. вязкостью воды можно пренебречь в данном эксперименте.

Окончательно, приравнивая потоки, получаем:

\[\frac{\pi\rho_{возд}\rho_{воды}ghR^4_к}{8\eta_{возд}l_к}=\pi\rho_{возд}R_ш^2\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}\implies \mathrm dt=\frac{8\eta_{возд}l_кR^2_ш\mathrm dx}{\rho_{воды}9R^4_к}\frac{1}{h}.\]Заметим, что зависимость \(\mathrm dt({1}/{h})\) – линейна с тангенсом угла наклона:

\[A=\frac{8\eta_{возд}l_кR^2_ш\mathrm dx}{\rho_{воды}9R^4_к}\frac{1}{h}.\]Тогда снимем зависимость \(\mathrm dt(h)\), построим график зависимости \(\mathrm dt(1/{h})\), найдем угловой коэффициент \(A\), а затем динамическую вязкость воздуха \(\eta_{возд}\) по формуле:

\[\eta_{возд}=\frac{A\rho_{воды}gR^4_к}{8l_кR^2_ш\mathrm dx}.\]Для увеличения точности измерений будем измерять \(\mathrm dt\) 3 раза для каждого значения \(h\)

Здесь и в дальнейшем погрешности рассчитаны по формулам:

\[\Delta\mathrm dt_{сл}=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^3(dt-dt_i)^2}{3\cdot2}},\quad \Delta \mathrm dt_{сист}=0.2~с\implies\Delta\mathrm dt=\Delta\mathrm dt_{сл}+\Delta\mathrm dt_{сист},\]\[\Delta h=0.2~см,~~\Delta\left(\frac{1}{h}\right)=\frac{\Delta h}{h^2}.\]

График зависимости \(\mathrm dt({1}/{h})\)

Из графика:

\[A=(6.46\pm0.35)~м\cdot с.\]Окончательно для динамической вязкости воздуха получаем:

Ответ:

\[\eta_{возд}=(19.45\pm1.53)~мкПа \cdot с\]

Погрешность рассчитана по формуле:

\[\Delta\eta_{возд}=\eta_{возд}\left(\frac{\Delta A}{A}+4\frac{\Delta R_к}{R_к}+\frac{\Delta l_к}{l_к}+2\frac{\Delta R_ш}{R_ш}+\frac{\Delta \mathrm dx}{\mathrm dx}\right).\]

A3. Для нахождения диаметра иглы мы можем написать аналогичные уравнения для потоков воздуха и приравнять потоки: \[\frac{\pi\rho_{возд}\rho_{воды}ghR_и^4}{8\eta_{возд}l_и}=\pi\rho_{возд}R_ш^2\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt},\]где \(R_и\) – радиус иглы, \(l_и=(1.9\pm0.5)~мм\) – длина иглы.

Преобразуем уравнение: \[\mathrm dt=\frac{8\eta_{возд}l_иR_ш^2\mathrm dx}{\rho_{воды}gR_и^4}\frac{1}{h}\]Зависимость \(\mathrm dt(1/{h})\) – линейна с тангенсом угла наклона: \[B=\frac{8\eta_{возд}l_иR_ш^2\mathrm dx}{\rho_{воды}gR_и^4}.\]Тогда снимем зависимость \(\mathrm dt(h)\), построим график \(\mathrm dt(1/{h})\), найдем угловой коэффициент \(B\), а затем диаметр иглы \(d_и\) по формуле: \[d_и=2R_и=2\sqrt[4]{\frac{8\eta_{возд}l_иR_ш^2\mathrm dx}{\rho_{воды}gB}}.\]

График зависимости \(\mathrm dt({1}/{h})\)

Из графика:

\[B=(10.95\pm0.47)~м\cdot с.\]Окончательно для диаметра иглы получаем:

Ответ:

\[d_и=(0.1997\pm0.0055)~мм\]

Погрешность рассчитана по формуле:

\[\Delta d_и=\frac{1}{4}d_и\left(\frac{\Delta\eta_{возд}}{\eta_{возд}}+\frac{\Delta l_и}{l_и}+2\frac{\Delta R_ш}{R_ш}+\frac{\Delta\mathrm dx}{\mathrm dx}+\frac{\Delta B}{B}\right).\]

Примечание

Для доказательства того, что при \(\mathrm dx=1~см\) скорость можно считать постоянной, снимем зависимость \(h(t)\) для капилляра и построим ее график.

Тангенс угла наклона касательной к графику в точке \(h\) – это скорость изменения разности высот при разности высот \(h\). В силу того, что радиусы верхнего и нижнего шприцов одинаковые, этот тангенс также будет равен удвоенной скорости подъема уровня жидкости в шприце при разности высот \(h\). Из графика видно, что экспериментальную кривую можно считать прямой на любом участке \(\mathrm dx={(h_1-h_2)}/{2}=1~см\). Это означает, что для любой высоты \(h\), скорость в пределе \(\mathrm dx=1~см\) можно считать постоянной.

Для подтверждения того, что в данном эксперименте учитывать вязкость важно, необходимо рассчитать число Рейнольдса. Число Рейнольдса это безразмерная величина, равная отношению кинетической энергии жидкости к потере ее, обусловленной работой сил вязкости на характерной длине. Из определения понятно, что при значениях числа Рейнольдса \(\mathrm {Re}\gg1\) основную роль играет инерция, а при \(\mathrm {Re}\ll1\) – вязкость.

\[\mathrm {Re}=\frac{K}{A}.\]Используя закон сохранения массы для воздуха, можем записать:

\[R^2_ш\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}=R^2_иv_и,\]где \(v_и\) – скорость воздуха внутри иглы.

Оценим плотность воздуха из уравнения Менделеева–Клапейрона (\(p_a=105~кПа\), \(\mu_{возд}=29~{г}/{моль}\), \(T_{комн}=300~К\)):

\[\rho_{возд}=\frac{p_a\mu_{возд}}{RT_{комн}}=1.22~{кг}/{м^3}.\]Тогда для числа Рейнольдса получим:

\[Re=\frac{\rho_{возд}V_иR_и^2}{16\eta l_и}=\frac{\rho_{возд}R_ш^2}{16\eta l_и}\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}=0.056,\]Этот результат свидетельствует о том, что вязкость играет значительную роль в данном эксперименте.

A4.

Источник: pho.rs/p/3954.