Резиновый шнур на шероховатом стержне

Жёсткость отрезка шнура обратно пропорциональна его длине. В конечном положении подъём лёгкого груза прекращается, когда тяжёлый груз касается пола; запишите равновесие обеих половин шнура.

\(X=\dfrac{3h(L+h)}{2L+3h}\).

Пусть \(k\) — жёсткость части шнура длиной \(L\), \(H\) — высота стержня над полом, \(X\) — искомое дополнительное смещение груза \(m\). Жёсткость отрезка длиной \(\ell\) равна \(\dfrac{kL}{\ell}\).

В начальном положении условия равновесия грузов: \(mg=k(H-2h-L)\) и \(2mg=k(H-h-L)\). Отсюда \(k=\dfrac{mg}{h}\) и \(H=L+3h\).

Подъём груза \(m\) и проскальзывание шнура прекратятся, когда тяжёлый груз опустится на пол, а натяжение правой по рисунку части станет \(F=mg+\Delta T=\dfrac{3mg}{2}\).

Пусть \(L_1\) и \(L_2\) — недеформированные длины левой и правой частей шнура в конечном положении, \(L_1+L_2=2L\). Тогда правая часть: \(L_2+\dfrac{FL_2}{kL}=H\), то есть \(L_2\left(1+\dfrac{3h}{2L}\right)=L+3h\), откуда \(L_2=\dfrac{2L(L+3h)}{2L+3h}\) и \(L_1=2L-L_2=\dfrac{2L^2}{2L+3h}\).

Левая часть: \(L_1+\dfrac{mgL_1}{kL}+2h+X=H\), то есть \(L_1\left(1+\dfrac{h}{L}\right)+2h+X=L+3h\). Отсюда \(X=L+h-L_1\left(1+\dfrac{h}{L}\right)=(L+h)\left(1-\dfrac{2L}{2L+3h}\right)=\dfrac{3h(L+h)}{2L+3h}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.