Цепь с омметром

Идеальный вольтметр можно убрать из цепи, идеальный амперметр заменить проводом. Есть ли ток по соединяющему проводу между средними точками верхней и нижней ветвей?

Поскольку вольтметр и амперметр идеальные, вольтметр можно удалить из цепи без изменения токов во всех её элементах, а амперметр — заменить куском провода, не имеющим сопротивления. Тогда цепь сводится к цепи, показанной на рисунке, причём вольтметр измеряет напряжение между точками А и В, а амперметр — разность токов через сопротивления 2 и 3 (или 5 и 6). Напряжение между точками А и В равно нулю: \[U_{AB} = U_0\,\frac{R_1}{R_1 + R_2} - U_0\,\frac{R_4}{R_4 + R_5} = \frac{U_0\,(R_1 R_5 - R_2 R_4)}{(R_1 + R_2)(R_4 + R_5)} = \frac{U_0\,(3\cdot 2 - 6\cdot 1)}{(R_1 + R_2)(R_4 + R_5)} = 0,\] где \(U_0\) — напряжение на участке параллельно соединённых резисторов \(R_1\), \(R_2\), \(R_3\), \(R_4\). Поэтому \(U_V = 0\).

По проводам, соединяющим верхнюю и нижнюю ветви цепи, ток не течёт, так как для заданных резисторов выполнено условие \[(R_1 + R_2)\,R_6 = (R_4 + R_5)\,R_3 .\] Цепь сводится к сбалансированному мостику Уитстона, через который ток не течёт, поэтому \(I_A = 0\).

Общее сопротивление цепи, которое и показывает омметр: \[R_{об} = \frac{(R_1 + R_2)(R_4 + R_5)}{R_1 + R_2 + R_4 + R_5} + \frac{R_3 R_6}{R_3 + R_6} = 3\text{ Ом}.\]