Тела на нитях и чашка с песком

Минимальная масса песка определяется условием, что сила тяжести песка уравновешивает максимальную силу трения покоя, действующую на тело \(2m\) на столе.

Сначала найдём минимальную массу песка, при которой тела сдвинутся с места. Поскольку массы чашки и подвешенного с другой стороны тела одинаковы, для того чтобы тело \(2m\) сдвинулось, сила тяжести песка должна быть равна максимальной силе трения покоя: \[m_1 g = \mu\,2mg \quad\Rightarrow\quad m_1 = 2\mu m .\] Рассмотрим случай, когда масса песка в чашке \(m_2 = 4\mu m\). Уравнения движения в проекции на направление движения: \[ma = T_1 - mg, \qquad 2ma = T_2 - T_1 - 2\mu mg, \qquad (m + 4\mu m)\,a = (m + 4\mu m)\,g - T_2,\] где \(a\) — ускорение тел, \(T_1\) и \(T_2\) — силы натяжения левой и правой нитей. Складывая эти уравнения, находим \[a = \frac{\mu g}{2\,(1 + \mu)}.\]