Метод рядов

Решение

A1. Проведем измерения показаний весов \(m^*\) от угла кручения проволоки. Длина проволоки при этом составит:

Ответ:

\[l=(35.0\pm0.5)~см\]

Ответ:

A2. Момент сил кручения складывается из действия на линейку весов и шприца. Так как шприц и весы располагаются на концах линейки, то силы, которые они оказывают на проволоку равны. Рассчитаем момент сил кручения как: \[M=2m^*g\frac{L}{2}=m^*gL, \tag{5}\]где \(L=(16.0\pm0.1)~см\). Погрешность измерения показаний весов оценим как \(0.03~г\), погрешность определения угла примем равной \(5^\circ\). Погрешность измерения момента силы будем рассчитывать на основе относительной погрешности измерения массы, так как относительная погрешность измерения длины линейки пренебрежимо мала.

Построим график исследованной зависимости.

Ответ:

A3. Видно, что график хорошо описывается линейно функцией вплоть до значений момента закручивающих сил

Ответ:

\[M_{пласт}=1.2 \cdot 10^{-3}~Н\cdot м\]

Начиная приблизительно с этого момента сил проволока деформируется пластически. Линейное приближение, описываемое формулой \((1)\) выполняется в диапазоне \({\varphi}/{l} \in [0;11] ~^\circ/\text{см}\). При величинах моментов сил ниже критического деформации можно считать упругими - график хорошо описывается линейно функцией. Угловой коэффициент линейной части графика равен \(\alpha=(1.01\pm 0.05) \cdot10^{-6} ~{\text{H}\cdot\text{м}^2}/{\,^\circ}\).

Рассчитаем на основе величины углового коэффициента графика модуль кручения единицы длин проволоки.

Ответ:

\[\gamma_{ст}=(5.70\pm0.25)\cdot10^{-5} \ \text{H}\cdot\text{м}^2 \tag{6}\]

B1. Измерим зависимость периода колебаний линейки от длины подвеса. Измерения длины подвеса всегда будем проводить между фиксированными точками. Для повышения точности следует засекать период не одного, а нескольких колебаний \(N\).

Ответ:

B2. Для получения теоретического выражения для периода колебаний запишем энергию колебательного процесса в некоторый момент времени:

\[W=w_{упр}+T= \frac{\gamma \varphi^2}{2(l+l_0)}+\frac{mL^2}{12}\frac{\dot{\varphi}^2}{2}, \tag{7}\]где \(l_0\) – некоторая эффективная длина участков проволоки, участвующих в кручении, но не учтенных в измерении \(l\). Из вида полученной функции энергии получаем выражение для периода колебаний:

Ответ:

\[T=2\pi\sqrt{\frac{mL^2(l+l_0)}{12\gamma}} \tag{8}\]

B3. Возведем выражение в квадрат:

\[T^2=\pi^2\frac{mL^2(l+l_0)}{3\gamma}. \tag{9}\]

Видно, что в координатах \(T^2(l)\) зависимость является линейной функцией. Величина \(l_0\) характеризует смещение графика относительно точки с координатами \((0,0)\). Возведем измеренные значения периодов колебаний в квадрат и построим график исследованной зависимости. По оси длины погрешность не превышает \(2 ~мм\). Погрешность измерения времени \(t\) оценим в \(0.3~ с\) (характерное время реакции человека). Тогда погрешность квадрата наибольшего из измеренных периодов составит:

\[\sigma_{T^2}=2T\sigma_T=2\,\frac{t}{N}\frac{\sigma_t}{N}=2\frac{0.3\cdot23.2}{10^2}=0.14 \ \text{c}^2. \tag{10}\]Угловой коэффициент графика составляет \(\beta=(11.8\pm0.5) ~{\text{c}^2}/{\text{м}}\). С учетом массы линейки \(m=(5.23\pm0.03)~ г\) рассчитаем модуль кручения единицы длины проволоки:

Ответ:

\[\gamma_к = \pi^2\frac{mL^2}{3\beta}= (3.6\pm0.2) \cdot 10^{-5} \ \text{H}\cdot\text{м}^2 \tag{11}\]

Погрешность оценим сложив относительные погрешности массы линейки, ее длины и величины углового коэффициента графика.

Ответ:

\[\sigma_{\gamma_к}=\gamma_к(\varepsilon_m+2\varepsilon_L+\varepsilon_B)=0.2 \cdot 10^{-5} \ \text{H}\cdot\text{м}^2 \tag{12}\]

C1. Измерения, проведенные статическим способом, не позволяют определить \(\gamma\) с хорошей точностью. Одна из причин состоит в том, что в кручении участвует не только проволока подвеса, но и часть проволоки, которой прикреплена линейка. Колебательный метод учитывает \(l_0\) – некоторую эффективную длину участков проволоки, участвующих в кручении, но не учтенных в измерении \(l\), поэтому модуль кручения единицы длины проволоки, определенный колебательным методом \(\gamma_к\) ближе к истинному и для дальнейших расчетов нужно использовать его.

C2. Рассчитаем, чему равняется модуль сдвига меди:

Ответ:

\[G=\dfrac{32\gamma_к}{\pi d^4}=45~ГПа \tag{13}\]

D1. Навьем из проволоки пружинки разных диаметров \(D\). Обозначим количество витков в них за \(Q\). Для измерения жесткости соберем установку, изображенную на рисунке 1.

Установка для измерения жесткостей пружин

Поставим весы под лапку штатива, положим на весы грузик. Запишем показания весов. Прикрепим к ушку грузика один конец пружины, растянем пружину и закрепим второй ее конец на лапке штатива (для этого удобно воспользоваться зажимающим винтом лапки). Измерим показания весов \(m^*\) и длину пружины в растянутом положении \(h\). Открепим конец пружины от грузика и измерим длину пружины в нерастянутом положении \(h_0\) и показания весов в этом случае \(m_0^*\). Необходимо при этом следить, чтобы пружина испытывала упругие деформации. Занесем данные в таблицу и рассчитаем жесткости витков пружин по формуле:

\[k=Q\frac{(m^*_0 - m^*)g}{h-h_0}. \tag{14}\]Погрешность измерения коэффициентов жесткости рассчитаем через сложение относительных погрешностей изменения показаний весов \(\sigma_{m_0^*}=\sigma_{m^*}=0.01\; г\), изменения длины пружины и количества витков в ней:

\[\sigma_k=k\cdot\Big(\dfrac{2\sigma_{m^*}}{m_0^*-m^*}+\frac{2\sigma_h}{h-h_0}+\frac{\sigma_Q}{Q}\Big), \tag{15}\]где \(\sigma_h = 1~мм\), \(\sigma_Q = 0.5\). Погрешность измерения диаметра витков примем равной \(\sigma_D=1~мм\).

Ответ:

D2. Для определения степени \(i\) рассчитаем логарифмы диаметров и коэффициентов жесткости пружин. Погрешности логарифмов величин равны относительным погрешностям самих величин.

Построим график зависимости \(\ln{k}\) от \(\ln{D}\).

Видно, что экспериментальные точки хорошо описываются линейной зависимостью с угловым коэффициентом \((-2.9\pm0.2)\). В данный диапазон попадает лишь одно целое число, значит степень зависимости

Ответ:

\[i=-3\]

D3. Получим теоретическую связь между модулем кручения единицы длины проволоки и жесткостью одного витка пружины из этой проволоки. Пусть на виток действует сила \(F\), из-за чего он растянулся на величину \(h\). Разобьем один виток проволоки на кусочки длиной \(\mathrm dz\). Каждый из кусочков будет поворачиваться на некоторый угол \(\mathrm d\varphi\). Этот угол будет связан с вкладом этого кусочка в общую деформацию витка через диаметр витка:

\[\mathrm dh=\mathrm d\varphi \cdot\frac{D}{2}. \tag{16}\]С другой стороны на каждый виток действует скручивающий момент силы:

\[M=F\,\frac{D}{2}. \tag{17}\]Из закона Гука для кручения кусочка получаем:

\[\varphi=\frac{M~\mathrm dz}{\gamma}=\frac{FD~\mathrm dz}{2\gamma}. \tag{18}\]Таким образом вклад малого кусочка в общее удлинение витка связан с длиной кусочка прямо пропорционально:

\[\mathrm dh=F\,\frac{D^2}{4\gamma}~\mathrm dz. \tag{19}\]Откуда, с учетом длины витка \(z=\pi D\), получаем для полного растяжения витка:

\[h=\pi F\,\frac{D^3}{4\gamma}. \tag{20}\]Тогда коэффициент жесткости одного витка можно вычислить как:

\[k=\frac{F}{h}=\frac{4\gamma}{\pi D^3}. \tag{21}\]Иным словами:

Ответ:

\[i=-3,\qquad j=1,\qquad A_{теор}=\dfrac{4}{\pi}\]

То есть, теоретическая степень зависимости жесткости одного витка его диаметра совпадает с полученным ранее экспериментальным значением.

D4. Построим график зависимости жесткости одного витка пружины от диаметра витка в линейных координатах.

Пересчитаем данные в таблице и построим по ним требуемый график. Относительную погрешность степенной функции от \(k\) найдем умножив относительную погрешность \(k\) на показатель степени. \[\sigma_{k^{-1/3}}=\dfrac{1}{3}k^{-1/3}\frac{\sigma_k}{k}. \tag{22}\]

Ответ:

Угловой коэффициент графика составляет \(\kappa=(0.027\pm0.003)~  \left[\dfrac{1}{мм^2 \cdot Н}\right]^{1/3}\).

Вычислим экспериментальное значение константы  \(A\), используя значение модуля кручения единицы длины проволоки, полученное колебательным способом \(\gamma_к\):

Ответ:

\[А_{эксп}=\dfrac{1}{\gamma_к \kappa^3}=1.4\pm0.2 \tag{23}\]

Теоретическое значение \(A_{теор}=\frac{4}{\pi}=1.27\) совпадает с полученным экспериментально с учетом погрешности.

D5. Для измерения зависимости \(F(\Delta x)\) воспользуемся установкой, изображенной на рис. 1. Соберем установку таким образом, чтобы недеформированной пружине соответствовало нулевое показание весов \(m^*_0=0 \;г\). Будем монотонно удлинять пружину и следить за показаниями весов. Дойдя до значения \(F_{\max_1}\), которое соответствует показанию весов \(m^*_{\max_1}=m^*_0-{F_{\max_1}}/{g}= - 5.6 \;г\), начнем монотонно уменьшать длину пружины, вплоть до нулевого значения силы. Повторим измерения, монотонно дойдя до силы \(F_{\max_2}\), которое соответствует показанию весов \(m^*_{\max_2}=m^*_0-{F_{\max_2}}/{g}= - 7.1\; г\). Измерения занесем в таблицу. По данным таблицы построим график \(F(\Delta x)\).

Ответ:

Ответ:

D6. При наблюдении пластических деформаций проволоки в пункте A1, силовая характеристика (крутящий момент) оставался постоянным при увеличении деформации в области пластичности. Наблюдение пластической деформации в пружине показывает, что силовая характеристика (сила упругости) растет с увеличением деформации как в области упругости, так и в области пластических деформаций пружины.

Источник: pho.rs/p/3816.