Распределённое сопротивление

Решение

A1. Ответ:

Соберем установку, описанную в условии. Точное значение тока \(I_0 = (5.20 \pm 0.01) \ мА\). Измерим напряжения \(U^*=(81.0\pm0.2) \ мВ\) и \(U_0=(38.1 \pm 0.2) \ мВ\). Схематичное положение точек, между которыми измерялось напряжение \(U_0\) показано на рис. 6.

Видно, что напряжение \(U_0\) существенно меньше напряжения \(U^*\). Связано это с существенным по сравнению с сопротивлением фольги сопротивлением контакта между опорой струбцины и фольгой. Для расчета чистого сопротивления фольги будем использовать напряжение \(U_0\):

\[R_0=\frac{U_0}{I_0}=(7.31 \pm 0.05) \ мОм. \tag{2}\]Погрешность оценим, сложив относительные погрешности величин \(U_0\) и \(I_0\).

Рис. 6. Положение точек для измерения \(U_0\)

A2. Проведем измерения величин \(U_i\), занесем данные в таблицу.

A3. Для оценки состоятельности модели проверим, будет ли постоянным отношение \({\alpha_i=U_i/U_{i-1}}\), поскольку именно так себя ведет напряжения на резисторах \(R_1\) в бесконечной цепочке. Это можно сделать напрямую, но поскольку точность полученных данных невысока, то лучше построить график \(\ln{(U_i)}(i)\). Действительно, если считать, что \(\alpha_i=\alpha\) постоянно, то для напряжения с индексом \(i\) можно записать: \[U_i=U_1\alpha^i. \tag{3}\] Прологарифмировав это выражение получим: \[\ln{(U_i)}=\ln{(U_1)}+i\ln{\alpha}. \tag{4}\] То есть, если предложенный график линейный, то модель выполняется. Рассчитаем величины \(\ln({U_i})\). Погрешность величин оценим как относительную погрешность \(U_i\). Построим график \(\ln{(U_i)}(i)\).

Видно, что точки хорошо ложатся на прямую с угловым коэффициентом \[k=\ln{(\alpha)}=(-0.37\pm0.06). \tag{5}\] Откуда для величины отношения напряжений имеем \[\alpha=e^k=(0.69\pm0.04). \tag{6}\] Относительная погрешность \(\alpha\) равна абсолютной погрешности углового коэффициента графика.

A4. Свяжем величину \(\alpha\) с модельными сопротивлениями \(R_1 \ и \ R_2\). Пусть на одном из резисторов \(R_1\) напряжение равно \(U\), тогда на его соседе справа напряжение будет равно \(\alpha U\), а на соседе через одного \(\alpha^2 U\) (рисунок 7).

Рис. 7. К выводу связи \(\alpha\) с модельными сопротивлениями

Рассмотрим контур, обозначенный на рисунке буквой «A». Найдем токи на соседствующих с рассматриваемыми резисторами \(R_1\) резисторах \(R_2\). На основе закона Кирхгофа для суммы токов в узловых точках получим, что токи на левом и правом резисторах \(R_2\): \[I_2=\frac{U}{R_1}-\frac{\alpha U}{R_1},\qquad I'_2=\frac{\alpha U}{R_1}-\frac{\alpha^2 U}{R_1} \tag{7}\] Тогда для напряжения на этих резисторах имеем: \[U_2=U(1-\alpha)\,\frac{R_2}{R_1},\qquad U'_2=U\alpha(1-\alpha)\,\frac{R_2}{R_1} \tag{8}\] Запишем равенство нулю суммарного падения напряжений в контуре, обозначенном на рисунке буквой «A». \[U(1-\alpha)\frac{R_2}{R_1}=U\alpha(1-\alpha)\frac{R_2}{R_1}+2\alpha U. \tag{9}\] Откуда легко получить связь между отношением сопротивлений и величиной \(\alpha\): \[p=\frac{R_1}{R_2}=\frac{(1-\alpha)^2}{2\alpha}=(7\pm2) \cdot 10^{-2}. \tag{10}\] Погрешность определения этого параметра оценим методом границ. Видно, что относительная погрешность крайне большая.

Для поиска самих величин модельных сопротивлений необходимо еще одно уравнение, связывающее сопротивление фольги с модельными сопротивлениями. То есть необходимо провести вычисление сопротивления бесконечной цепи. Составим для этого уравнение, отражающее тот факт, что при удалении одного звена из цепи ее сопротивление не меняется:\[R_0=\frac{(R_0+2R_1)R_2}{R_0+2R_1+R_2}=\frac{(R_0+2pR_2)R_2}{R_0+2pR_2+R_2}. \tag{11}\]Приведем уравнение к виду квадратного:\[2pR^2_2-2pR_2R_0-R^2_0=0. \tag{12}\]Найдем его решение, выбрав только положительный корень:

Ответ:

\[R_2=\frac{R_0}{2}\frac{p+\sqrt{p^2+2p}}{p}=R_0\left(\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{2p}}\right)=(21\pm 3) \ мОм \tag{13}\]

Погрешность нахождения \(R_2\) оценим методом границ, основной вклад в нее внесет неточность определения параметра \(p\).

Оценим величину \(R_1\):

Ответ:

\[R_1=pR_2=(1.4\pm0.3) \ мОм \tag{14}\]

A5. Для расстояний в \(0.1~см\) между исследуемыми точками экспериментально получить отношение напряжений невозможно, однако эту величину несложно вычислить на основе уже полученных данных. Если на расстоянии в \(3~см\) напряжение падает в \(\alpha\), то так как на \(3~см\) укладывается 30 расстояний по \(0.1~ см\), то напряжение на этом расстоянии будет уменьшаться в: \[\alpha'=\alpha^{1/30} = (0.9877\pm0.0019). \tag{15}\] Для расчета погрешности \(\alpha'\), поделим относительную погрешность \(\alpha\) на 30.

Рассчитаем величину отношения сопротивлений в этом случае \(p'=(7.7\pm2.2)\cdot10^{-5}\). Погрешность вычислим в соответствии с формулой:\[\sigma_{p'}=p'\frac{\sigma_{\alpha'}}{1-\alpha'}. \tag{16}\]Вычислим значения модельных сопротивлений:

Ответ:

\[R'_2=(0.59\pm0.09) \ Ом,\qquad R'_1=(4.5\pm1.2)\cdot10^{-5} \ Ом \tag{17}\]

Тогда для искомых констант:

Ответ:

\[B=R'_2\cdot\Delta x'=(59\pm9) \ мОм\cdot см,\qquad A=R'_1/\Delta x'=(4.5\pm1.2)\cdot10^{-4} \ Ом/см \tag{18}\]

A6. Проведем измерения \(U_{9y}\) и \(U_{12y}\). Занесем данные в таблицу и построим графики зависимостей \(U_{9y} (y)\) и \(U_{12y} (y)\).

Ответ:

Ответ:

A7. Ответ:

Видно, что графики не являются линейными функциями, однако похожи между собой. Для того чтобы проверить их подобие построим график зависимости одного напряжения от другого. Видно, что полученный график может быть описан прямой пропорциональностью, что говорит о верном предположении о подобии графиков.

B1. Отрежем от фольги достаточно длинный кусок. Подсоединим к нему источник питания (см. рисунок 8) так же, как и в предыдущем случае.

Пропустим через фольгу ток в \(I=(5.00\pm0.01) \ А\), и измерим падение напряжения \({U=(64.5\pm0.1) \ мВ}\) на участке кусочка фольги длиной \(l=(11.0\pm0.2 ) \ см\). Сопротивление этого участка фольги может быть рассчитано на основе закона Ома. Для поиска поверхностного сопротивления измерим ширину участка фольги \(d=(2.5\pm0.1) \ см\) и рассчитаем:

\[r=\frac{Ud}{Il}=(2.93\pm0.15) \ мОм. \tag{19}\]Для оценки погрешности сложим относительные погрешности входящих величин.

Для подтверждения результатов повторим измерение напряжения для значения \({l'=(19.8 \pm 0.2) \ см}\). Падение напряжения на этом участке составило \(U'=(115.6 \pm 0.1) \ мВ\). Поверхностное сопротивление оказывается равным:

Рис. 8. Установка для проведения эксперимента

Ответ:

\[r=\frac{U' d}{Il'}=(2.92\pm0.14) \ мОм \tag{20}\]

Источник: pho.rs/p/3812.