Изгиб линейки синей

IEPhO 2022/23, 11 кл.

7/10

В данной задаче требуется оценка погрешностей!

Теоретическая справка

В этой задаче вам предстоит изучить изгибную деформацию. Под изгибной деформацией понимают искривление осей различных стержней. Изгибная деформация в точке характеризуется радиусом кривизны оси стержня. Для произвольной кривой изогнутой в одной плоскости (см. рисунок 1) радиус кривизны рассчитывается как отношение малой длины дуги кривой \(\mathrm dl\) к величине изменения угла направления касательной к ней \(\mathrm d\alpha\):\[R=\frac{\mathrm dl}{\mathrm d\alpha}. \tag{1}\]Величину \(R^{-1}\) обратную радиусу кривизны называют кривизной.

Рис.1. К определению радиуса кривизны в точке кривой линии

Если рассмотреть небольшой кусочек стержня (рисунок 2), то под действием изгибного момента \(M\) он искривляется так, что часть его слоев растягивается, а часть сжимается. Некоторая линия внутри стержня остается недеформируемой. За счет изгиба в сечении стержня возникают силы упругости, создающие момент сил относительно недеформируемой линии. Этот момент сил уравновешивает момент внешних сил, из за которого возникает изгиб.

Рис. 2. Изгиб участка стержня

Закон Гука для упругих изгибных деформаций стержня состоит в том, что кривизна малого кусочка стержня пропорциональна изгибному моменту сил:

\[M=\frac{B}{R}. \tag{2}\]Будем называть коэффициент пропорциональности изгибной жесткостью стержня.

Типичным примером изгибной деформации является изгиб балки с одним жестко закрепленным горизонтальным концом под действием силы, приложенной к ее второму концу (рис. 3).

Рис. 3. Изгиб участка стержня

В этом случае балка деформируется неоднородно, то есть ее кривизна в каждой точке неодинакова. Изгибный момент внешних сил, действующих на сечение балки, на расстоянии \(x\) от линии действия силы \(F\), может быть вычислен как:

\[M=Fx. \tag{3}\]То есть в этом случае, если балка деформируется упруго, кривизна балки будет прямо пропорционально зависеть от \(x\).

Если положить длинную балку на цилиндрическую поверхность, так чтобы центр балки касался поверхности, и вывести из состояния равновесия, то балка начнет колебаться, качаясь на цилиндрической поверхности.

Колебания балки на цилиндрической поверхности

Период таких колебаний может быть рассчитан как:

\[T=2\pi\sqrt{\frac{l^2}{12gR}}, \tag{4}\]где \(R\) – радиус кривизны поверхности, \(l\) – длина балки.

Задание

Исследование кривизны линейки

A1. Стяните скотчем два конца пластиковой линейки (рисунок 4). Проделайте это так, чтобы к скотчу была обращена сторона линейки с делениями. Расстояние между наиболее удаленной от скотча точки линейки и полоской скотча должно составить в этом упражнении \(H_{\max}=9.5~см\). Линейка будет деформирована неоднородно. Измерьте зависимость кривизны \(r^{-1}\) поверхности линейки в зависимости от расстояния \(h\) между поверхностью и полоской скотча \(h\).

A2. Постройте график исследованной зависимости. Как должен вести себя график данной функции теоретически? Можно ли сказать, что полученные экспериментальные данные соответствуют теоретическим предположениям?

К определению изгибной жесткости линейки

A3. Для разных степеней стягивания линейки (рисунок 5) измерьте кривизну \(R^{-1}\) поверхности линейки в максимально удаленной от скотча точке, измерьте силу стягивания концов линейки \(F\) и расстояние \(H\) между максимальной удаленной от скотча точки поверхности линейки и скотчем. Проведите измерения для нескольких точек из диапазона высот \(H\) от \(0\) до \(H_{\max}\).

A4. Рассчитайте для каждой исследованной степени изгиба линейки величину изгибного момента \(M\), действующего на максимально удаленную от скотча точку линейки.

A5. Постройте график зависимости \(R^{-1}\) от \(M\). Определите изгибную жесткость линейки \(B\).

Оборудование

Пластиковая линейка \(30~см\)
Штатив с лапкой и муфтой
Секундомер
Линейка деревянная \(50~см\)
Малярный скотч
Электронные весы

▶Показать разборСкрыть разбор

Ответ

A5: \[B = (4.3\pm0.4)\cdot10^{-2} \ \text{Н}\cdot\text{м}^{2}\]

Решение

A1. Для измерения кривизны поверхности закрепим изогнутую линейку в лапке штатива так, чтобы исследуемая точка поверхности линейки была наивысшей (см. рис. 7). Положим на эту точку изогнутой линейки деревянную линейку. Запустим колебания деревянной линейки. Измерим время \(t\) нескольких \(N\) колебаний линейки.

Рис. 7. Исследование кривизны линейки

Рассчитаем период колебаний линейки как отношение измеренного времени и количества колебаний, совершенных за это время \[T=\frac{t}{N}. \tag{5}\] Определим по полученным данным кривизну поверхности линейки \[r^{-1}=\frac{3gT^2}{l^2\pi^2}, \tag{6}\] где \(l=(51.0\pm0.1) \ см\) – длина деревянной линейки. Оценим погрешность измерения как: \[\sigma_{r^{-1}}=r^{-1}\cdot\frac{2\sigma_t}{t}, \tag{7}\] где погрешность измерения времени оценим как \(\sigma_t=0.3 \ с\).

Измерим также расстояние \(h\) до точки поверхности изогнутой линейки, около которой происходили колебания. Погрешность этого расстояния оценим в \(\sigma_h = 5~ мм\), складывая приборную погрешность линейки и неточность определения точки, до которой проводится измерение расстояния.

Ответ:

\(h, ~см\)	6.6	7.5	8.5	10.0	4.5	3.5	5.5	2.2
\(t, ~с\)	8	9	14	15	3	3	8	2
\(N\)	10	10	15	15	5	5	10	5
\(T, ~с\)	0.83	0.87	0.93	1.01	0.66	0.62	0.77	0.49
\(r^{-1}, ~м^{-1}\)	7.9	8.6	9.8	11.8	5.0	4.5	6.7	2.7
\(\sigma_{r^{-1}}, ~м^{-1}\)	0.6	0.6	0.4	0.5	0.9	0.9	0.5	0.7

A2. Ответ:

Видно, что данные могут быть описаны прямой пропорциональностью. Последнее несложно объяснить с теоретической точки зрения. Если сила, стягивающая линейку, равна \(F\), то ее момент относительно сечения, находящегося на удалении \(h\) от скотча, равен:\[M=F\cdot h. \tag{8}\]В соответствии с законом Гука для изгибной деформации, кривизна поверхности прямо пропорциональна моменту изгибных сил. То есть, как и получено в эксперименте, кривизна линейки прямо пропорциональна расстоянию \(h\).

A3. Измерим таким же образом кривизну поверхности линейки в наиболее удаленной от скотча точке при разных степенях изгиба. Будем измерять время \(N_0=10\) колебаний линейки. Для каждой степени изгиба измерим размер \(H\). Измерим также силу стягивания концов линейки с помощью весов (рисунок 8). Для этого сначала обнулим показания весов, предварительно положив на них пластиковую линейку.

Рис. 8. Способ измерения стягивающей силы

Снимем линейку с весов. Стянем ее концы скотчем и поставим обратно на весы так, чтобы полоска скотча приняла вертикальное положение. Надавим на верхний конец линейки так, чтобы скотч начал провисать, то есть его сила натяжения обратилась в 0. Запишем показания весов \(m^*\). Cила, действующая на платформу весов, будет равна силе, стягивающей концы линейки. Для ее вычисления умножим показания весов на ускорение свободного падения \(g\): \[F=m^*g. \tag{9}\] Занесем измерения в таблицу в п. A4. Рассчитаем кривизну линейки в наиболее удаленной от скотча точке.

A4. Рассчитаем момент силы стягивания относительно этой точки как: \[M=F\cdot H=m^*g\cdot H. \tag{10}\] Для оценки погрешности момента стягивающих сил сложим относительные погрешности показаний весов и плеча силы \(H\): \[\sigma_M=M\Big(\frac{\sigma_{m^*}}{m}+\frac{\sigma_{H}}{H}\Big), \tag{11}\] где погрешность показаний весов оценим в \(\sigma_{m*}=10~г\), так как сила меняется в небольших пределах по мере провисания скотча.

Ответ:

\(H, ~см\)	\(m^*, ~г\)	\(t, ~с\)	\(M, ~Н \cdot м\)	\(1/R, ~м^{-1}\)	\(\sigma_{1/R}, ~м^{-1}\)	\(\sigma_M, ~Н\cdot м\)
3.7	479	6	0.170	3.68	0.39	0.008
5.2	485	7	0.250	5.58	0.48	0.010
6.5	499	8	0.320	6.63	0.52	0.011
7.5	510	9	0.380	8.29	0.59	0.012
8.5	526	10	0.440	10.55	0.66	0.013
9.5	540	11	0.500	12.89	0.73	0.015

A5. Построим график зависимости кривизны точки линейки от момента изгибных сил, действующих в этом сечении.

Ответ:

Видно, что точки на графике могут быть описаны прямой пропорциональностью, обратный угловой коэффициент которой равен коэффициенту изгибной жесткости линейки:

Ответ:

\[B = (4.3\pm0.4)\cdot10^{-2} \ \text{Н}\cdot\text{м}^{2}\]

Заметим, что прямая, аппроксимирующая точки графика, может и не проходить через начало координат. Такой эффект при корректных измерениях связан с наличием у линейки начальной изгибной деформации.

Источник: pho.rs/p/3830.

Вся олимпиада на сайте

в вариантСтраница задачиОшибка в задаче?

Изгиб линейки синей

Изгиб линейки синей

Похожие задачи