Поршень в сосуде с водой

Найдите объём воздуха в конечном состоянии по объёмам поршня, воды и сосуда, затем давление воздуха по закону Бойля—Мариотта. Уровень воды и давление у нижнего торца поршня определите из того же объёма.

\(m=\dfrac{\rho hS}{2}+\dfrac{3P_AS}{2g}\).

Начальное состояние: давление воздуха \(P_1=P_A\), объём \(V_1=Sh\).

В конечном состоянии температура воздуха постоянна, поэтому \(P_1V_1=P_2V_2\). Объём поршня внутри сосуда \(\dfrac{S}{2}\cdot\dfrac{3h}{2}\), объём воды \(Sh\) не меняется, объём сосуда \(2Sh\). Тогда объём воздуха $$V_2=2Sh-\frac{S}{2}\cdot\frac{3h}{2}-Sh=\frac{Sh}{4},$$ откуда \(P_2=4P_A\).

Поршень вытесняет воду, и уровень воды поднимается; в конечном состоянии расстояние по вертикали от уровня воды до нижнего торца поршня равно \(h\). Давление на нижний торец поршня со стороны воды \(p_{\text{низ}}=P_2+\rho gh=4P_A+\rho gh\), на верхний торец действует \(P_A\). Условие равновесия поршня: $$mg+P_A\frac{S}{2}=(4P_A+\rho gh)\frac{S}{2},$$ откуда \(m=\dfrac{\rho hS}{2}+\dfrac{3P_AS}{2g}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.