Газ под поршнем на пружине

Запишите условие равновесия поршня в начальном и конечном (перед разрывом пружины) состояниях и уравнение состояния газа в обоих. Работа газа равна интегралу \(\int p\,dV\), где давление задаётся равновесием поршня; первое начало термодинамики даёт \(Q\).

\(Q=\dfrac{5}{2}\dfrac{mRT_0\Delta x}{\mu h}+k\left(\dfrac{3}{2}h\Delta x+2\Delta x^2\right)\), где \(\Delta x=x_{max}-x_0\).

Пусть \(S\) — площадь поршня, \(R\) — газовая постоянная. В начальном состоянии поршень в равновесии: \(p_0S=p_aS+Mg+kx_0\), и уравнение состояния \(p_0Sh=\dfrac{m}{\mu}RT_0\), откуда \(p_0S=\dfrac{mRT_0}{\mu h}\).

Перед разрывом пружины поршень поднят на \(\Delta x=x_{max}-x_0\), давление \(p_2S=p_aS+Mg+kx_{max}=\dfrac{mRT_0}{\mu h}+k\Delta x\), объём \(S(h+\Delta x)\). Из уравнения состояния для конечного состояния $$T_2=\left(\frac{T_0}{h}+\frac{k\mu\Delta x}{mR}\right)(h+\Delta x).$$

Изменение внутренней энергии одноатомного газа $$\Delta U=\frac{3}{2}\frac{m}{\mu}R(T_2-T_0)=\frac{3}{2}\frac{mRT_0\Delta x}{\mu h}+\frac{3}{2}k\Delta x(h+\Delta x).$$

Работа газа против атмосферы, веса поршня и пружины: $$A=(p_aS+Mg)\Delta x+k\left(x_0\Delta x+\frac{\Delta x^2}{2}\right)=\frac{mRT_0\Delta x}{\mu h}+\frac{k\Delta x^2}{2}.$$

По первому началу \(Q=\Delta U+A=\dfrac{5}{2}\dfrac{mRT_0\Delta x}{\mu h}+k\left(\dfrac{3}{2}h\Delta x+2\Delta x^2\right)\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.