Мячик и корзинка на горке

Скорости мячика в точках \(A\) и \(C\) перпендикулярны; запишите скорость в \(C\) через скорость в \(A\) и \(g\). Модуль перемещения мячика найдите через \(T\), а перемещение корзинки вдоль горки — через её ускорение \(g\sin\alpha\).

\(\alpha=30^\circ\).

Пусть \(\vec v_A\) — скорость мячика в точке \(A\), \(\vec v_C\) — в точке \(C\). По условию \(\vec v_A\perp\vec v_C\), то есть \(\vec v_A\cdot\vec v_C=0\). Пусть \(T\) — время полёта мячика от \(A\) до \(C\), тогда \(\vec v_C=\vec v_A+\vec gT\) и $$\vec v_A\cdot(\vec v_A+\vec gT)=0.$$

Перемещение мячика \(\vec{AC}=\vec v_AT+\dfrac{\vec gT^2}{2}\), поэтому $$|\vec{AC}|^2=T^2 \vec v_A\cdot(\vec v_A+\vec gT)+\frac{g^2T^4}{4}=\frac{g^2T^4}{4},  |AC|=\frac{gT^2}{2}.$$

Корзинка движется из состояния покоя с ускорением \(g\sin\alpha\) вдоль горки, за время \(T\) проходит \(|BC|=\dfrac{g\sin\alpha\,T^2}{2}\). Так как точка \(B\) лежит на отрезке \(AC\) и \(AB=BC\), то \(|AC|=2|BC|\): $$\frac{gT^2}{2}=2\cdot\frac{g\sin\alpha T^2}{2},$$ откуда \(\sin\alpha=\dfrac{1}{2}\), \(\alpha=30^\circ\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.