Мостовая ферма

Сначала найдите реакции опор из условий равновесия всей фермы и симметрии. Затем мысленно рассеките ферму по трём стержням и запишите равновесие одной из частей, используя уравнения моментов относительно удобных точек.

Из-за симметрии задачи силы реакции в опорах 1 и 10 равны \(N_{1,10} = 3F/2\) каждая. Найдём силу натяжения стержня 6-9. Для этого мысленно «рассечём» ферму по стержням 5-7, 6-8 и 6-9. В этом сечении действуют силы натяжения \(F_{5\text{-}7}\), \(F_{6\text{-}8}\) и \(F_{6\text{-}9}\) (если в результате вычислений какая-то из сил получится отрицательной, это будет означать направление, противоположное показанному на рисунке).

Запишем условие равновесия части фермы 7-8-9-10. Геометрически очевидно, что расстояние от точки A до узла 7 равно \(6l\). Поэтому уравнение моментов относительно точки A даёт \[F_{6\text{-}8}\cdot 2l + F\cdot 6l - N_{10}\cdot 8l = 0 \quad\Rightarrow\quad F_{6\text{-}8} = 3F.\] Сила \(F_{6\text{-}8}\) оказалась положительной, значит, её направление выбрано верно, и стержень 6-8 растянут. Аналогичное уравнение относительно точки B даёт \[F_{5\text{-}7}\cdot 2l - F\cdot 2l + N_{10}\cdot 4l = 0 \quad\Rightarrow\quad F_{5\text{-}7} = -2F.\]

Сила \(F_{5\text{-}7}\) оказалась отрицательной, значит, она направлена противоположно рисунку: стержень 5-7 сжат. Теперь из условия равенства нулю проекций сил на горизонтальное направление получаем \[F_{6\text{-}9} = -\frac{\sqrt{5}\,F}{2}.\] Таким образом, стержень 6-9 сжат, его сила натяжения равна \[|F_{6\text{-}9}| = \frac{\sqrt{5}\,F}{2} = 22{,}3\ \text{кН}.\] Очевидно, такая же сила натяжения у симметричного стержня 4-6.

Силу натяжения стержня 1-2 можно найти из условия равновесия шарнира 4 (проекция сил на горизонтальное направление): сила в стержне 1-4 такая же, как в стержне 4-6, и стержень 1-4 сжат. Из условия равновесия шарнира 1 (проекция сил на вертикальное направление) находим, что стержень 1-2 сжат и \[|F_{1\text{-}2}| = 2\sqrt{2}\,F = 56{,}6\ \text{кН}.\]