Тепловой поток по стержню с боковой потерей

Поток тепла через сечение стержня равен \(\lambda S\,T'(x)\). Разность потоков, входящего в тонкий слой через левое основание и выходящего через правое, и даёт поток через его боковую поверхность.

Очевидно, поток тепла по стержню распространяется в положительном направлении оси \(x\): температура левого конца стержня (\(x = 0\)) выше температуры правого (\(x = l\)), поэтому тепло идёт слева направо.

Из закона Фурье легко найти поток тепла, проходящий через каждое сечение стержня: \[Q(x) = q(x)\,S = \lambda\,\frac{T(x + \Delta x) - T(x)}{\Delta x}\,S = \lambda S\,T'(x),\] где \(S\) — площадь поперечного сечения стержня, \(T'(x)\) — производная температуры по координате \(x\) рассматриваемого сечения.

Найдём теперь количество теплоты, уходящее через боковую поверхность стержня. Для этого рассмотрим узкий слой стержня толщиной \(\Delta x\) (см. рис.). Поток тепла через боковую поверхность слоя равен разности потоков, входящего через левое основание слоя и выходящего через правое:

\[\Delta W = Q(x + \Delta x) - Q(x) = \lambda S\,\Delta x\,\frac{T'(x + \Delta x) - T'(x)}{\Delta x} = \lambda S\,\Delta x\,T''(x),\] где \(T''(x)\) — вторая производная температуры по координате. Учитывая, что \(S = \pi r^2\), а площадь боковой поверхности элемента равна \(\Delta S = 2\pi r\,\Delta x\), найдём количество теплоты, уходящее через единицу площади боковой поверхности стержня: \[w = \frac{\Delta W}{\Delta S} = \frac{\lambda r\,T''(x)}{2}.\] Находя вторую производную температуры, получаем, что поток через боковую поверхность не зависит от \(x\) и равен \[w = \frac{\lambda r T_2}{l^2}.\] Поэтому полный поток тепла через боковую поверхность между точками \(x = l/2\) и \(x = 3l/4\) равен произведению \(w\) на площадь боковой поверхности стержня между этими точками, \(S_1 = 2\pi r l/4\): \[W = w\,S_1 = \frac{\lambda r T_2}{l^2}\cdot\frac{2\pi r l}{4} = \frac{\pi r^2 \lambda T_2}{2l}.\] Тот же результат получается и другим способом, как разность потоков тепла через сечения стержня при \(x = 3l/4\) и \(x = l/2\): \(W = Q(3l/4) - Q(l/2)\).