Пересечение двух вращающихся стержней

Рассмотрите треугольник, образованный осями вращения и точкой пересечения стержней. Найдите его углы через \(\omega t\) и покажите, что сторона, соединяющая точку пересечения с осью B, не меняется со временем.

Пусть после начала движения прошло некоторое время \(t < \pi/2\omega\). Рассмотрим треугольник AOB, где A и B — концы стержней, вокруг которых они вращаются, O — точка пересечения стержней в этот момент.

Угол OBC равен \(2\omega t\), поэтому угол ABO в треугольнике AOB равен \(\pi - 2\omega t\). Угол OAB равен \(\omega t\), значит, угол AOB равен \[\angle AOB = \pi - \angle OAB - \angle ABO = \pi - \omega t - (\pi - 2\omega t) = \omega t.\] Таким образом, в треугольнике OAB углы \(\angle AOB = \angle OAB\), и, следовательно, этот треугольник равнобедренный, в котором \(AB = BO\) в любой момент времени. Поэтому расстояние от точки B до точки пересечения стержней остаётся одинаковым и равным \(l\). Точка пересечения стержней движется с постоянной угловой скоростью \(2\omega\) по окружности с центром в точке B и радиусом \(l\). Поэтому величина скорости этой точки не меняется и равна \[v = 2\omega l. \qquad (*)\] Её ускорение центростремительное и равно \[a = 4\omega^2 l. \qquad (**)\] Рассмотренное решение становится неверным при \(t > \pi/2\omega\), поскольку стержни перестают пересекаться. Однако через время, за которое правый стержень совершит ещё один оборот (при \(t > 3\pi/2\omega\) после начала движения), стержни снова начнут пересекаться, причём точка их пересечения будет находиться ниже отрезка AB. Рассуждения, аналогичные приведённым выше, показывают, что траекторией точки пересечения стержней будет нижняя половинка окружности, а её скорость и ускорение будут такими же. Затем (при \(t > 2\pi/\omega\)) оба стержня станут направлены вправо, и движение точки их пересечения повторится.

Таким образом, в течение половины времени, за которое правый стержень совершит два полных оборота (а левый — один), стержни будут пересекаться, в течение второй половины времени — нет. Точка их пересечения движется сначала по верхней половинке окружности с центром в точке B и радиусом \(l\), затем стержни не пересекаются, затем — по нижней половинке той же окружности. Когда стержни пересекаются, скорость и ускорение точки их пересечения постоянны и определяются формулами (*) и (**). Когда стержни не пересекаются, вопрос о скорости и ускорении точки их пересечения бессмысленен.