Шарик в трубе

Из принципа обратимости механического движения следует, что шарик после второго удара должен лететь назад по прежней траектории. Для этого в точке \(D\) (рис. 148) он должен удариться, имея скорость, перпендикулярную поверхности трубы. Попробуем подобрать такой угол \(\alpha\), чтобы касательная в точке \(K\) была параллельна \(OD\). Возьмем точку \(C\) на продолжении \(OD\). Движение шарика вдоль оси \(x\) происходит с ускорением \(g\sin\alpha\), а вдоль оси \(y\) — с ускорением \(g\cos\alpha\). Исходя из этого можно показать, что точка \(C\) — искомая точка. При этом \[\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{1}{3},\quad OC = \dfrac{R}{3}.\]

Получаем ответ: точка находится на расстоянии \(OC = \dfrac{R}{3}\) от центра трубы (выше центра) на прямой, проходящей через центр трубы под углом \(\alpha = \operatorname{arctg}\dfrac{1}{3}\) к горизонту. Из уравнения движения определяем время движения шарика: \[t = 4\sqrt{\dfrac{2\sqrt{10}}{3}\dfrac{R}{g}}.\]