Угловая высота камня

Когда угол луча зрения максимален, луч зрения касается траектории — скорость камня направлена прямо на Леопольда. Постройте треугольник скоростей \(\vec v_1 = \vec v_0 + \vec g t_1\).

1. Поскольку вектор начальной скорости \(\vec v_0\) направлен перпендикулярно лучу зрения — он образует угол \(\alpha_0\) с вертикалью.

Траектория камня представляет собой участок параболы ветвями вниз, поэтому максимальное значение \(\alpha_1 = 38^\circ\) реализуется, если Леопольд расположен вне искомой параболы, и в момент времени \(t_1\), когда угол между лучом зрения и горизонтом достигает максимального значения, луч зрения направлен по касательной к траектории камня. Это означает, что в данный момент скорость камня \(\vec v_1\) направлена прямо на Леопольда и образует угол \(\alpha_1\) с горизонтом.

Для определения времени \(t_1\) построим векторный треугольник скоростей для данного момента времени. Из теоремы синусов находим: \[\frac{gt_1}{\sin(\pi/2 + \alpha_1 - \alpha_0)} = \frac{v_0}{\sin(\pi/2 - \alpha_1)},\] откуда: \[t_1 = \frac{v_0\sin(\pi/2 + \alpha_1 - \alpha_0)}{g\sin(\pi/2 - \alpha_1)} \approx 1{,}24\text{ с}.\]

2. Введём систему координат \(xy\) с началом в месте расположения глаз Леопольда так, как показано на рисунке.

Тогда зависимости координат \(x(t)\), \(y(t)\) следующие: \[x(t) = L - v_0\sin\alpha_0\,t, \qquad y(t) = L\operatorname{tg}\alpha_0 + v_0\cos\alpha_0\,t - \frac{gt^2}{2}.\] Тогда для тангенса угла \(\alpha_1\) в момент времени \(t_1\) получим: \[\operatorname{tg}\alpha_1 = \frac{y(t_1)}{x(t_1)} = \frac{L\operatorname{tg}\alpha_0 + v_0\cos\alpha_0\,t_1 - gt_1^2/2}{L - v_0\sin\alpha_0\,t_1},\] откуда: \[L = \frac{v_0t_1(\cos\alpha_0 + \operatorname{tg}\alpha_1\sin\alpha_0) - gt_1^2/2}{\operatorname{tg}\alpha_1 - \operatorname{tg}\alpha_0} \approx 24{,}3\text{ м}.\]