Собака и хозяин у забора

Выразите путь хозяина до встречи через число полных кругов \(n\) и отрезок \(x\), а путь собаки — через \(n+k+1\) кругов минус \(x\) (она бежит навстречу). Приравняйте времена движения и проверьте, попадает ли место встречи на сохранившуюся секцию забора.

\(t=1{,}8\) мин (\(\approx0{,}03\) ч).

Пусть хозяин до встречи прошёл путь \(S_1=nL+x\), где \(x\) — путь от столба до места встречи вдоль забора, а собака за то же время пробежала \(S_2=(n+k+1)L-x\) (против часовой стрелки навстречу хозяину). Оба затратили одинаковое время \(t\): $$\frac{nL+x}{v}=\frac{(n+k+1)L-x}{u}.$$ Отсюда \(x=\dfrac{4{,}2(1+k)-0{,}6\,n}{9}\,L\).

Длина одной секции \(l=L/9=10\) м. Хозяин найдёт собаку, только если место встречи приходится на сохранившуюся секцию, то есть целая часть \(x/l\) нечётна. Здесь \(x/l=4{,}2(1+k)-0{,}6n\). При \(n=0\), \(k=0\) имеем \(x/l=4{,}2\), целая часть 4 — не подходит. При \(n=1\), \(k=0\) имеем \(x/l=3{,}6\), целая часть 3 — нечётная, условие выполнено. Пара \(n=1\), \(k=0\) подходит для условий задачи.

Случаи \(k>0\) при \(n<7\) не дают решения (в официальном решении при \(n<7\) берётся \(k=0\)). Заметим, что к моменту, когда хозяин пройдёт ровно 7 кругов, собака пробежит ровно 8, и они окажутся одновременно в точке старта, так что картина повторяется с начала и решений для \(k>0\) искать не нужно.

Искомое время при \(n=1\), \(k=0\), \(x=0{,}4L\): $$t=\frac{L+x}{v}=\frac{1{,}4 L}{v}=1{,}8 мин (\approx0{,}03 ч).$$

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.