Шарики в конусообразной воронке с пружинами

Запишите равновесие верхнего шарика вдоль стенки воронки и равновесие точки крепления нити к нижней пружине. Затем сравните два состояния равновесия: их разность даёт связь между изменениями длин пружин, а нерастяжимость нити даёт второе соотношение.

\(\Delta y=\dfrac{mg}{k\left(1+4\sin^2\alpha\right)}\).

Пусть в начальном состоянии верхняя пружина сжата на \(x_0\), нижняя растянута на \(y_0\), сила натяжения нити \(T_0\). Баланс сил на верхний шарик вдоль поверхности воронки: \(mg\cos\alpha+T_0-kx_0\sin\alpha=0\). Баланс сил в точке крепления нити и нижней пружины: \(2T_0-ky_0=0\). Исключая \(T_0\): $$mg\cos\alpha+0{,}5 ky_0-kx_0\sin\alpha=0 (1).$$

После добавления третьего шарика верхняя пружина сжимается на \(\Delta x\), нижняя — на \(\Delta y\), натяжение нити становится \(T_1\). Баланс сил на верхний шарик: \(mg\cos\alpha+T_1-k(x_0+\Delta x)\sin\alpha=0\). Баланс сил на нижний шарик: \(2T_1-k(y_0-\Delta y)-mg=0\). Исключая \(T_1\): $$mg\cos\alpha+0{,}5k(y_0-\Delta y)+0{,}5mg-k(x_0+\Delta x)\sin\alpha=0 (2).$$

Вычитая (1) из (2): \(-0{,}5k\Delta y+0{,}5mg-k\Delta x\sin\alpha=0\) (3).

Нерастяжимость нити: \(\Delta y=\dfrac{\Delta x}{2\sin\alpha}\) (4).

Решая (3) и (4), получаем \(\Delta y=\dfrac{mg}{k\left(1+4\sin^2\alpha\right)}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.