Тяжёлый поршень

Условие отрыва поршня — равенство сил давления газа снизу и сверху с учётом силы тяжести. После отрыва газ снизу давит на всю площадь поршня, а объём подпоршневого газа зависит от высоты поршня.

1. Поршень отрывается, когда сила давления газа снизу становится равной сумме силы давления газа сверху и силы тяжести поршня: \(p_1 S_1 = p_2 S_2 + mg\). Из уравнения состояния \(p = \dfrac{\nu RT}{V}\) при \(T = 2T_0\) (объёмы \(V_1 = Sh\) и \(V_2 = 9Sh\)): \[\frac{2\nu RT_0}{h} - \frac{2\nu RT_0}{3h} = mg \quad\Rightarrow\quad m = \frac{4\nu RT_0}{3gh}.\]

2. Как только поршень оторвётся, газ под поршнем начинает давить на всю его площадь \(3S\), и сила давления скачком увеличивается. Поршень поднимается до положения равновесия, в котором высота поршня \(h'\). Объём газа под поршнем \(V_{\text{н}} = Sh + 3S(h'-h) = S(3h'-2h)\), объём газа над поршнем \(V_{\text{в}} = 3S(4h-h')\). Условие равновесия: \[\frac{2\nu RT_0}{S(3h'-2h)} - \frac{2\nu RT_0}{3S(4h-h')} = \frac{4\nu RT_0}{9Sh}.\] После преобразований с \(x = h'/h\) получаем \(3x^2 - 23x + 29 = 0\). Корень со знаком плюс, \(x \approx 5{,}9\), больше \(4\) и не подходит (поршень не может подняться выше верхнего основания сосуда), поэтому \[h' = \frac{23-\sqrt{181}}{6}\,h \approx 1{,}59\,h.\]

3. Пусть газ охладился до температуры \(T\) и поршень вот-вот коснётся опор, то есть \(h' = h\). Тогда газ снизу и сверху давит на всю площадь поршня, и \[3S\,\frac{\nu RT}{Sh} - 3S\,\frac{\nu RT}{9Sh} = mg \quad\Rightarrow\quad \frac{8\nu RT}{3h} = \frac{4\nu RT_0}{3h},\] откуда \(T = \dfrac{T_0}{2}\).