Мягкая посадка

Реактивная сила \(F = \mu u\) постоянна, значит, движение равноускоренное. Выразите расход топлива через конечную скорость и воспользуйтесь неравенством о сумме двух величин с постоянным произведением.

Пусть \(M\) — масса корабля, \(v\) — начальная скорость (вниз), \(v_{\text{к}}\) — конечная скорость, \(a_y\) — ускорение корабля (вверх). Тогда \[a_y = \frac{v^2 - v_{\text{к}}^2}{2h}, \qquad t = \frac{v - v_{\text{к}}}{a_y} = \frac{2h}{v + v_{\text{к}}}.\] Второй закон Ньютона в проекции на вертикальную ось: \(M a_y = \mu u - Mg\), откуда \(\mu = \dfrac{M(a_y + g)}{u}\). Расход топлива за время торможения \[m_{\text{топл}} = \mu t = \frac{M}{u}\left(\frac{v^2 - v_{\text{к}}^2}{2h} + g\right)\frac{2h}{v+v_{\text{к}}} = \frac{M}{u}\left(v - v_{\text{к}} + \frac{2gh}{v+v_{\text{к}}}\right).\] Произведение \((v+v_{\text{к}})\cdot\dfrac{2gh}{v+v_{\text{к}}} = 2gh\) постоянно, значит, по неравенству о сумме и произведении сумма минимальна при равенстве слагаемых: \(v + v_{\text{к}} = \sqrt{2gh}\). Тогда \[m_{\text{топл}} = \frac{2M}{u}\left(\sqrt{2gh} - v_{\text{к}}\right),\] и расход минимален при максимальной конечной скорости \(v_{\text{к}} = v_{\text{п}}\). Поэтому \(\upsilon = v = \sqrt{2gh} - v_{\text{п}}\). Этот ответ справедлив при \(v_{\text{п}} < \sqrt{2gh}\), иначе скорость получилась бы отрицательной.

При \(v_{\text{п}} \geq \sqrt{2gh}\) корабль может свободно падать без топлива. Из закона сохранения энергии \(v = \sqrt{v_{\text{к}}^2 - 2gh}\), и с учётом \(0 \leq v_{\text{к}} \leq v_{\text{п}}\) получаем \(\upsilon \leq \sqrt{v_{\text{п}}^2 - 2gh}\).