Задачи › Теплопроводность, закон охлаждения Ньютона

Магнитики

  1. Магнитики

    ВсОШ 2021/22, 10 кл.
    6/10

    Как-то раз в руках у экспериментатора Глюка оказались стопка из шести мощных одинаковых магнитов, разделённых одинаковыми картонными прокладками, и высокоточный термометр. Дело оставалось за малым — провести какой-нибудь эксперимент. Не придумав ничего лучше, Глюк включил лабораторную электроплитку и прикрепил стопку магнитов к её боковой поверхности, затем стал измерять температуру крайнего (дальнего от плитки) магнита. Спустя некоторое время его температура перестала изменяться и оказалась равной \(t_1 = 23\,^\circ\text{C}\), а температура соседнего магнита оказалась равной \(t_2 = 29\,^\circ\text{C}\). Также Глюк измерил радиус магнита \(r = 2{,}0\) см и его высоту (толщину) \(h = 1{,}0\) см.

    Рисунок

    Определите температуру остальных магнитов и температуру плитки.

    Считайте, что: — магниты обладают высокой теплопроводностью, поэтому температура магнита одинакова во всех его точках; — температура воздуха одинакова во всех точках вблизи магнитов и равна \(t_{\text{ос}} = 20\,^\circ\text{C}\); — между магнитом и плиткой картонная прокладка отсутствует; — теплоотдача в окружающую среду пропорциональна разности температур цилиндра и воздуха и пропорциональна площади контакта магнита с воздухом; — поток тепла через картонный диск пропорционален разности температур его поверхностей и пропорционален площади диска.

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Составьте уравнение теплового баланса для каждого магнита. Обозначьте превышение температуры \(n\)-го магнита над воздухом через \(\tau_n\) и выразите поток через прокладку и поток в воздух через \(\tau_1\) и \(\tau_2\).

    Ответ

    Температуры: третьего магнита \(44\,^\circ\text{C}\), четвёртого \(83\,^\circ\text{C}\), пятого \(185\,^\circ\text{C}\), шестого и плитки \(452\,^\circ\text{C}\).

    Решение

    Пронумеруем магниты, присвоив номер 1 самому дальнему от плитки. Пусть \(\tau_n = t_n - t_{\text{ос}}\) — превышение температуры магнита над воздухом. Поток тепла от первого магнита в окружающую среду \[q = k\,\tau_1 S,\] где \(S\) — площадь его боковой поверхности, контактирующей с воздухом, \(k\) — коэффициент пропорциональности. Для остальных магнитов площадь вдвое меньше (радиус вдвое больше высоты), поэтому их потери \(q_n = k\,\tau_n\,\dfrac{S}{2} = q\,\dfrac{\tau_n}{2\tau_1}\).

    Поток через картонную прокладку между магнитами 2 и 1 равен \(q_{2,1} = \alpha(t_2 - t_1)\), причём \(q_{2,1} = q\), так как температуры стационарны. Аналогично для прокладки между магнитами \(n+1\) и \(n\): \(q_{n+1,n} = \alpha(t_{n+1} - t_n) = q\, \dfrac{t_{n+1}-t_n}{t_2-t_1}\).

    Уравнение теплового баланса для магнита с номером \(n\) (не крайнего): \[\frac{q\,(t_{n+1}-t_n)}{t_2-t_1} = \frac{q\,(t_n-t_{n-1})}{t_2-t_1} + \frac{q}{2}\,\frac{\tau_n}{\tau_1}.\] После преобразований получаем рекуррентную формулу \[\tau_{n+1} = \tau_n\left(3 + \frac{\tau_2}{\tau_1}\right)\frac{1}{2} - \tau_{n-1} = 3\tau_n - \tau_{n-1},\] поскольку \(\tau_1 = 3\,^\circ\text{C}\), \(\tau_2 = 9\,^\circ\text{C}\) и \(\tau_2/\tau_1 = 3\).

    Отсюда \(\tau_3 = 24\,^\circ\text{C}\), \(\tau_4 = 63\,^\circ\text{C}\), \(\tau_5 = 165\,^\circ\text{C}\), \(\tau_6 = 432\,^\circ\text{C}\). Прибавляя \(t_{\text{ос}} = 20\,^\circ\text{C}\), получаем температуры магнитов: третьего \(44\,^\circ\text{C}\), четвёртого \(83\,^\circ\text{C}\), пятого \(185\,^\circ\text{C}\), шестого и плитки \(452\,^\circ\text{C}\).

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх