Шестерёнки велосипедов

За один оборот педалей цепь провернётся на одну и ту же длину для передней и задней шестерёнки. Сравните, сколько оборотов педалей нужно, чтобы проехать одинаковое расстояние.

Пусть \(L\) — длина окружности колеса, \(\ell\) — длина цепи, на которую она провернётся при одном обороте задней шестерёнки, \(s\) — длина окружности передней шестерёнки. Тогда при пути \(D\) число оборотов педалей равно \[N=\frac{D}{L}\cdot\frac{\ell}{s}.\] При одинаковой скорости пути \(D\) за одно и то же время совпадают, а величины \(L\), \(\ell\), \(s\) пропорциональны росту: \(\dfrac{L_С}{L_П}=\dfrac{\ell_С}{\ell_П}=\dfrac{s_С}{s_П}=\dfrac{1{,}40}{1{,}50}\). Отношение числа оборотов до обмена шестерёнками \[\frac{N_С}{N_П}=\frac{L_П}{L_С}\cdot\frac{\ell_С}{\ell_П}\cdot\frac{s_П}{s_С}.\] После обмена задними шестерёнками \(\ell_С\) и \(\ell_П\) меняются местами, и отношение становится \[\frac{N_С}{N_П}=\frac{L_П}{L_С}\cdot\frac{\ell_П}{\ell_С}\cdot\frac{s_П}{s_С} =\left(\frac{1{,}50}{1{,}40}\right)^3\approx1{,}23.\]