Три доски на льду

Пусть \(m\) — масса каждой из досок, а \(v_1\) — скорость системы после прекращения относительного движения досок. Запишем закон сохранения импульса: \[(2m)v_0 = (3m)v_1 \Rightarrow v_1 = \dfrac{2}{3}v_0\qquad (1)\] и закон сохранения энергии: \[\dfrac{(2m)v_0^2}{2} = \dfrac{(3m)v_1^2}{2} + Q + A_{\text{тр}},\qquad (2)\] где \(Q\) — количество теплоты, выделившейся при неупругом ударе досок 2 и 3, \(A_{\text{тр}}\) — работа силы трения при движении доски 1 по доске 3.

Так как трение между досками 1 и 2 отсутствует, в течение процесса неупругого удара к системе брусков 2 и 3 можно применить законы сохранения импульса и энергии: \[mv_0 = (2m)u \Rightarrow u = \dfrac{v_0}{2},\qquad (3)\] \[\dfrac{mv_0^2}{2} = \dfrac{(2m)u^2}{2} + Q \Rightarrow Q = \dfrac{1}{4}mv_0^2.\qquad (4)\] По мере того как доска 1 надвигается на доску 3, сила трения между этими досками возрастает по линейному закону от 0 до \(kmg\) (рис. 36). Работа силы трения численно равна площади заштрихованной части графика, т.е.

\[A_{\text{тр}} = \dfrac{1}{2}kmg\,l.\qquad (5)\] Подставляя в (2) выражение для \(v_1\), \(Q\) и \(A_{\text{тр}}\), получим \[l = \dfrac{v_0^2}{6kg}.\]